l’expression 
+ i) 
tend vers zéro 
caractère de 
a une valeur 
x entre — oo 
la limite et 
ie, con 
fie en- 
le cette 
mb re e 
818.... Les 
ussi grandes 
t, aussi pe- 
quand leur 
u’en y com- 
arment bien 
la variable y 
me Table de 
à l’inverse, 
n correspon- 
C’est cette 
logarith- 
■ y, et qu’on 
, et même 
r arie que de 
tant qu’elle 
asse l’unité. 
Je logy, un 
FONCTION LOGARITHMIQUE : SA DERIVEE, ETC. 
5i 
procédé beaucoup plus expéditif que la formation et l’emploi d’une 
Table de la fonction exponentielle. Mais on n’en possède pas de for 
mule générale simple analogue à la série (x3). Tout ce qu’on peut 
faire à cet égard, pour la présenter comme limite d’une fonction algé 
brique, non plus entière (comme pour e*), mais irrationnelle, c’est 
de résoudre par rapport à x l’équation (i3), qui revient, d’après ce 
qu’on a vu, à 
=^(i + e)=7(i + £), 
si e désigne une petite quantité tendant vers zéro avec Or l’extraction 
de la racine arithmétique m ième des premier et troisième membres 
donne, en se servant finalement de Informulé (3) [p. l\6\ pour réduire 
X 
l’expression (i + t)" 1 et en appelant z 1 une nouvelle quantité très pe- 
tite sensiblement égale à s, 
i + 
^(i+sr = 7>(i + 
d’où 
log y est simplement l’inverse - 
y 
x ou logy = m(fy — i) h- e t 'Vy, 
et, en faisant croître m indéfiniment, 
(i4) lo gy = lim m ("\/y — i), pour m infini. 
La dérivée de cette fonction inverse x = lo gy égalera, d’après la 
règle du n° 14 (p. 43), le quotient de l’unité par la dérivée de la fonc 
tion directe y = e x , c’est-à-dire par y' = e x =y. Ainsi, la dérivée 
de la fonction logarithmique x 
de sa variable. 
La principale propriété des logarithmes résulte de ce qu’ils représen 
tent proportionnellement des exposants entiers de i + — qui s’ajoutent 
ensemble quand on multiplie les puissances correspondantes, lesquelles 
expriment (à la limite ou pour m infini) des nombres positifs quel 
conques : elle consiste donc en ce que le logarithme d’un produit 
égale la somme des logarithmes de ses facteurs. Et l’on sait combien 
sont nombreux les calculs, presque impraticables autrement, qu’elle 
rend aisés, quand on possède une Table contenant les logarithmes 
d’une suite un peu étendue de nombres entiers. Or on sait aussi que 
ces calculs, dans le système décimal usuel de numération, deviennent 
encore plus commodes, en inscrivant sur la Table, vis-à-vis des