DÉRIVÉES DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS. 
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issant de - un 
2 
e l’on fait d’or- 
sinusoïde KL, 
onférence pré 
est z = sin U, 
ux entre eux et 
F'F, .. ., mais 
des abscisses, 
ice tc déroulée 
erait peut-être 
on cosinus (ce 
', par le som- 
extrémité C); 
soit des sinus, 
on donne la 
Y sm u , 
— OU J G 
X COS U 
mobile M d 
ante, impair 
ngente mené 
la rencontr 
et compté 
du côté des 
on sait, cett 
complémen 
- inverse du 
u 
e l’arc u. Ces 
nx premières, 
sinus et cosinus : i° en ce que, représentant leurs rapports, elles res 
tent les mêmes quand un accroissement tt donné à l’arc change les 
signes du sinus et du cosinus, de sorte que leur période est x et non 
2tz; 2° en ce que l’annulation de leur dénominateur cos u ou sinr/, 
pour les valeurs de l’arc égales aux multiples impairs ou pairs de 
les fait, dans chaque intervalle tc, passer une fois par l’infini avec 
changement de signe, de manière qu’elles y parcourent ensuite gra 
duellement toute l’échelle des grandeurs entre —oo et -+- oo, tandis 
que le sinus et le cosinus ne cessent jamais d’être continus entre les 
limites — i et -h i de leurs oscillations. 
Cherchons actuellement les dérivées de ces quatre fonctions. Pour 
avoir celles du sinus et du cosinus, faisons croître l’arc AM = a (p. 54) 
d’une très petite quantité A u — arcMM', dont le rapport à sa corde 
MM' sera, d’après un théorème démontré au n° 3 (p. 16), de la 
forme i + s, si e désigne une quantité tendant vers zéro en même 
temps que Au\ et comparons, à cet accroissement \u = (i -+- s)(MM'), 
l’accroissement correspondant Ay du sinus, c’est-à-dire, en valeur ab 
solue, la différence P'M'— PM = QM', ainsi que celui Ax du cosinus 
ou encore, en valeur absolue, la différence OP — OP'—P'P= QM. 
On aura donc 
(i5) (en valeur absolue) 
A sin u 
Am 
QM' A cosu. _ i QM 
Ml ’ ~~IüT ~ iH-e MM 7 
Or le triangle rectangle QMM' tienne, d’après une propriété connue, 
QM' 
MM 7 
= cosQM'M, 
QM 
MM 7 
= sinQM'M. 
De plus, l’angle aigu QM'M, qui a déjà un côté, QM', perpendi 
culaire au côté OA de l’angle AOM = u, tend à avoir son autre 
côté, MM', perpendiculaire à l’autre, OM, du même angle AOM; 
car, le triangle isoscèle MOM' ayant son angle O au sommet de plus 
en plus petit à mesure que décroît MM', son angle M à la base, demi- 
supplément de l’angle au sommet, s’approche indéfiniment d’un 
droit : QM'M diffère donc aussi peu qu’on veut d’un angle, aigu 
comme lui, dont les côtés seraient perpendiculaires à ceux de AOM. 
Par suite, cet angle aigu vers lequel tend QM'M a, aux signes 
près, même sinus et même cosinus que AOM ou l’arc u ; car, quels 
que soient le signe et la grandeur de m, le cosinus et le sinus de u 
sont les deux coordonnées x et y du point M, c’est-à-dire, en va 
leur absolue, le cosinus et le sinus de l’angle AOM considéré comme 
positif et inférieur à deux droits, angle qu’on sait être alors ou l’égal