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DÉRIVÉES DES FONCTIONS SINUS, COSINUS, TANGENTE ET COTANGENTE. 
ou le supplémentaire de celui dont les côtés sont normaux aux siens 
et qui a ainsi môme sinus et même cosinus que lui en valeur absolue. 
i . QM' QM . A sin a A cos u 
Donc, les rapports —et, par suite,d apres (i5), 
tendent, saufpeut-être quant aux signes,vers les limites respectives cosa, 
sinw- Or la vue delà figure (p. 54) montre quelesinus grandit, ou que 
A sin a a le signe de A a, toutes les fois que le point M est, par rapport 
à Taxe des y, du côté des x positifs, c’est-à-dire quand cosa est po 
sitif, et que A sin a est, au contraire, négatif, du côté des x négatifs, 
. ,, i , A sin u . 
ou 1 on a cos a < o. Ainsi le rapport ——— a le meme signe que cos u 
et lui devient égal à la limite. Quant aux variations A cos a du cosi 
nus, la vue de la figure montre qu’elles sont négatives au-dessus de 
l’axe des x, là où sina se trouve positif, positives au-dessous, là où 
sin a se trouve négatif : bref, leur signe est contraire à celui de sin««, 
et puisque le rapport ” devient, à la limite, -+- sin« ou — sina, 
ce ne peut être que — sina. En résumé, quand l’arc est la variable 
indépendante, le sinus a pour dérivée le cosinus et le cosinus a pour 
dérivée le sinus changé de signe. 
La relation (g) [p. 45], existant, dans toute courbe rapportée à un 
système d’axes rectangulaires, entre les dérivées des trois coordonnées 
supposées exprimées en fonction de l’arc, se réduit à y'~-\- x'^— i 
quand la courbe est située dans le plan des xy. Or c’est le cas de 
notre cercle, représenté (u désignant l’arc) par les deux équations 
x — cos u, y = sinu. Comme il en résulte x'— — sin u, y' = cosa, 
cette formule y' 2 -+- x'- — i donne donc, entre le cosinus et le sinus 
d’une variable quelconque u, la relation fondamentale 
(l6) COS 2 II -+- sin 2 U = I. 
On l’aurait, du reste, déduite immédiatement de l’équation du cercle, 
en vertu de laquelle le carré, (OP) 2 -h (PM) 2 ou x 1 -y 2 , du rayon 
OM (p. 54), est constant et égal à l’unité. 
En prenant maintenant, d’après une règle du n° 11 [p. 87, seconde 
formule (a)], les dérivées des deux fractions Sin " et C0S , il viendra, 
cosîî sin u 
pour les dérivées respectives de tanga et de cota, 
et 
(cosa)(cosa) — (sinai(—sina) 1 
cos 2 a cos 2 a 
(sina)(—sina) — (cosa'i(cosa) 1 
sin 2 a sin 2 a