FONCTIONS CIRCULAIRES INVERSES. 
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Ainsi, la dérivée de la tangente égale l’inverse du carré du cosinus 
et, celle de la cotangente, l’inverse du carré du sinus changé de 
signe. 
On voit que chacune de ces deux fonctions a sa dérivée toujours de 
même signe : elles sont donc, quand leur variable grandit, Tune, con 
stamment croissante, l’autre, constamment décroissante, partout où 
elles varient graduellement. Et, en effet, dans chaque intervalle it où se 
. . . . n , sin u 
font de q=oo à ± oo les variations continues soit de la tangente ggg ’ soit 
de la cotangente 221IL, C es variations sont toujours de même sens. Le 
° sm u 
passage inverse de ± oo à qr oo se produit par le saut brusque ordi 
naire aux fractions dont le dénominateur s’annule : il a lieu entre 
la fin d’un intervalle et le commencement du suivant, à un instant où 
n’existe plus la continuité de la fonction ni, par suite., sa dérivée. 
Enfin, aux fonctions circulaires ou trigonométriques directes 
,z = sini/, z — co$u, ^ = tangii, z = cot u, 
il correspond évidemment des fonctions inverses, où l’arc u est con 
sidéré comme dépendant de z, c’est-à-dire de son sinus, ou de son 
cosinus, ou de sa tangente, ou de sa cotangente. On les appelle fonc 
tions circulaires inverses et on les désigne respectivement par les 
signes arc sin, arc cos, arc tang, arc cot, suivis de l’expression même 
de la variable qui est ici z, dénominations signifiant alors arc qui a 
pour sinus z, ou arc qui a pour cosinus z, etc. 
Contrairement à ce qui arrivait pour la fonction logarithmique, 
elles ne sont pas complètement déterminées; car, par exemple, un 
même sinus donné peut être celui d’une infinité d’arcs différents. Aussi 
faut-il, quand on les emploie, définir par quelque condition accessoire 
le champ, c’est-à-dire l’intervalle où on les suppose comprises, en 
choisissant pour les limites de cet intervalle deux arcs, distants de ir, 
tels que, u variant de l’un à l’autre, la variable z aille ou en y aug 
mentant toujours, ou en y diminuant toujours, de manière à ne pas 
passer deux fois par la même valeur et, par conséquent, à ne pas 
donner deux valeurs de u pour une seule s qu’elle aurait elle-même. 
Donc, si ^ est un sinus, on ne fera, à moins d’avis contraire, mouvoir 
l’extrémité M de l’arc u = AM (p. 54) que d’un seul côté de l’ave 
des y, savoir du côté des x positifs quand on voudra que u gran 
disse en même temps que son sinus z, et du côté des x négatifs quand 
l’arc u devra, au contraire, décroître pendant que son sinus grandira. 
D’ordinaire, on choisit l’arc entre les limites — ~ ou le plus petit en