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INFINIMENT PETITS : LEUR SIGNIFICATION.
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cours; et Гоп imite également ainsi la nature, qui règle par varia
tions extrêmement faibles, tout à fait insensibles à nos sens, l’écoule
ment du temps, sa principale variable indépendante, et la transfor
mation corrélative des choses.
De telles quantités, prises très petites et que Von fait tendre vers
zéro, sont appelées des infiniment petits. On les désigne ainsi, non
à raison de leur valeur présente (puisqu’elles sont actuellement
finies), mais à raison de ce qu’on veut qu’elles deviennent. Si, en
effet, on les introduit dans certaines opérations, ce n’est pas ¡précisé
ment pour connaître les résultats actuels de celles-ci, c’est pour cher
cher ce qu’ils deviendront à la limite, ou de quelles valeurs ils s’ap
procheront indéfiniment à mesure que les quantités en question
approcheront elles-mêmes de zéro, seul nombre qui, considéré comme
point de départ d’une grandeur naissante ou comme dernier terme
des décroissements d’une grandeur évanouissante, soit, à propre
ment parler, infiniment joetit : autrement dit, la qualification de quan
tités infiniment petites signifie que l’on veut connaître seulement les
limites vers lesquelles tendent les résultats des calculs où on les fait
paraître.
Les calculs dont il s’agit n’ont d’ailleurs d’intérêt qu’autant que les
limites de leurs résultats sont ou, du moins, peuvent être finies, dé
terminées et susceptibles de prendre, suivant les cas, des valeurs infi
niment variées, à l’image même de la diversité infinie des phénomènes
dont elles doivent pouvoir reproduire les traits; sans quoi leur étude
ne fournirait pas la matière d’une véritable et importante branche des
sciences rationnelles. Aussi y a-t-il deux sortes de ces calculs; car
il existe deux genres d’opérations susceptibles de conduire à des ré
sultats finis, utilisables même à la limite, et divers, quand on les
effectue sur des quantités que l’on fait décroître indéfiniment. Ce sont
celles qui consistent soit à prendre le rapport de deux infiniment
petits, soit à faire la somme d’une infinité d’infiniment petits, c’est-
à-dire d’un nombre de plus en plus grand de quantités de plus en plus
petites. Le rapport, dans le premier cas, reste fini, même à la limite,
si les deux termes décroissent à la fois sans jamais cesser d’être com
parables l’un à l’autre, comme il arrivait dans tous les calculs de fonc
tions dérivées eifectués précédemment. La somme, dans le second
cas, peut aussi tendre vers une limite finie, si le nombre des quantités
que l’on ajoute devient d’autant plus grand que chacune de ces quan
tités devient plus petite; et c’est également ce dont nous avons vu des
exemples, notamment quand nous avons démontré que le rapport de
deux accroissements simultanés finis d’une fonction et de sa variable