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PRINCIPE DU CALCUL DES INFINIMENT PETITS.
Je signe S suivi de la lettre désignant les divers termes de la somme ;
ainsi, Sa (qu’on lit somme ou sigma de a), Sp seront des manières
abrégées d’écrire respectivement cc 1 -\- a 2 -+-...-h a„, p t + p 2 H-H- ?«•
Le nouveau rapport intermédiaire obtenu se trouvera donc repré-
2a \j .
senté par ~ ; et, comme il ne pourra manquer de tendre vers i en
r n
— ? on aura
? — ?
a 2
lim SS a
ce qui démontre évidemment le théorème quand la limite de Sa est ou
nulle ou finie.
qui définissent les rapports respectifs de p t , p 2 , . . ., p„ à oq, a 2 , . . ., a„,
tirer l’expression, non moins générale, p— a = œ, de la différence
p — a qui existe entre deux termes correspondants des deux sommes
considérées. Alors, en ajoutant toutes les expressions particulières
qu’elle donne quand on y affecte successivement a et s des indices
i, 2, 3, ..., n, on aurait S(p— a) = Sas. Or chaque terme, as,
de Sas, comparé au terme de même rang, a, de Sa, donne le rapport
e; et Sas a, par suite, avec Sa, toujours en vertu du théorème cité,
un rapport intermédiaire entre le plus petit et le plus grand des s,
lim S P — lim Sa
lim S a
o et, par suite, lim sp — limSa.
Ainsi, dans les deux sortes de calculs, tout infiniment petit, a, peut
être remplacé par un autre, p, qui a avec lui un rapport tendant vers
l’unité, ou dont l’expression est p = a(i-t-s) si s désigne une quan
tité évanouissante. Or, comme cette égalité revient à écrire p — a = as,
la différence, p — a, des deux infiniment petits n’est que la fraction in
finiment petite s (ou la s ième partie) de l’un d’eux, a; et dire que deux
infiniment petits ont entre eux un rapport tendant vers Limité, c’est
la même chose que de dire qu’ils diffèrent l’un de l’autre d’une partie
infiniment petite de leur valeur. Par conséquent, le principe général
s’énonce encore de cette autre manière :
On peut, dans les calculs, substituer un infiniment petit à un
autre, pourvu qu’il Jie diffère de celui-ci qiCinfiniment peu par
rapport à lui-même.
