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UNITÉ DU DÉVELOPPEMENT D’UNE FONCTION 
le voisinage de la valeur zéro, est plus compliquée que celles qu’ex 
priment les diverses puissances de a, même à exposants fractionnaires ; 
et il n’y a pas lieu de parler alors de l’ordre de cet infiniment petit ¡3. 
Mais on dira pourtant, sans spécifier davantage, que l’infiniment 
petit dont il s’agit est d’un ordre supérieur au /d ème si son rapport 
à tend vers zéro, et d’un ordre inférieur au zd è “ e si, au contraire, 
son rapport à a 11 grandit indéfiniment lorsque a s’évanouit. 
Admettons que nous ayons un infiniment petit o de la forme 
o = Aa m + Ba. m+ P-4- Ca" ! +?+ .. 
où m, m -\-p, ?n-h q,. ,, désignent des exposants de plus en plus grands. 
Je dis qu’on pourra simplement remplacer cet infiniment petit par 
son premier terme ou, autrement dit, réduire son expression à la 
partie de l’ordre de petitesse le moins élevé, et écrire o = A % m . en 
négligeant tous les termes qui suivent. En effet, ceux-ci sont infini 
ment petits en comparaison du terme ainsi conservé Ax" 1 ; car, si l’on 
divise l’égalité par Aa®, il vient = i -+- * p -V- ^ a'/ —t— . . .. Or, 
° r ’ A a'« AA 
comme a tend vers zéro, le second membre est de la forme i H- s et, 
en substituant Aa" 1 à o, on ne fait que remjdacer un infiniment petit 
par un autre dont le rapport avec lui tend vers l’unité. 
Le principe démontré permet donc de supprimer de la formule tous 
les termes, excepté le premier. Celui-ci, étant infiniment plus grand 
que les autres, les masque, en quelque sorte, complètement et, tant 
qu’il subsiste, ne leur permet de produire un effet sensible dans au 
cun résultat. L’erreur commise en ne les mettant pas en ligne de 
compte deviendra rigoureusement nulle quand on passera à la limite. 
28. — Unité du développement de toute fonction suivant les puissances 
ascendantes de la variable. 
Il résul te de ce qui précède, entre autres applications dont ce cours 
fera connaître un grand nombre, qu’une fonction ne peut, dans le 
voisinage d'une valeur nulle de la variable, admettre plusieurs 
développements en série procédant suivant les puissances, cl expo 
sants positifs, de cette variable. 
Soit, en effet, deux séries distinctes, de la forme 
kx m -v- B x m +p+ G x m +<i-+- 
Leur différence est encore, évidemment, une troisième série de la 
même forme, avec des coefficients qui ne sont jms tous nuis. Si donc