Verwandlung und Theilung sphärischer Figuren durch Construction. 119 
Bogen BIG finden, erstens, für welchen IB gleich IC, oder zweitens, 
für welchen das sphärische Dreieck ABC ein Minimum oder das 
sphärische Dreieck A X BC ein Maximum ist.“ 
Ein und derselbe Bogen erfüllt zugleich die Forderungen beider Auf 
gaben. Angenommen, es sei Bogen AI<iAJ. Man nehme IN gleich 
TA, mache Winkel INC gleich IAB und ziehe aus dem Durchschnitt 
C der Bogen NC und AC den Bogen CIB, so genügt dieser beiden Auf 
gaben zugleich. Denn die beiden sphärischen Dreiecke AIB und NIC 
sind vermöge der gleichen Seiten AI und NI und der daran liegenden 
gleichen Winkel congruent, und daher ist IB gleich IC. Dass ferner 
jedes andere Dreieck, wie z. B. AB^, grösser ist als das sphärische 
Dreieck ABC, folgt eben so leicht. Denn die beiden sphärischen Dreiecke 
IBB 1 und ICC 2 sind vermöge der gleichen Seiten IB und IC und der 
daran liegenden gleichen Winkel congruent. Nun aber ist offenbar das 
sphärische Dreieck TCC\ > ICC 2 , also auch das sphärische Dreieck 
ICC 1 > IBB V und folglich auch das sphärische A AB 1 C 1 > A ABC. 
Bemerkt man ferner, dass der gefundene Bogen BC nach (No. 18, II) 
in seiner Mitte I von einem bestimmten sphärischen Kegelschnitt berührt 
wird, welcher die gegebenen Hauptkreise ABA X und ACA, zu Asymptoten 
hat, so folgt: „Dass die vorliegende Auflösung zugleich lehrt, wie man 
durch Construction in einem gegebenen Puncto I an einen sphärischen 
Kegelschnitt eine Tangente B C legen kann, wenn nur die beiden 
Asymptoten desselben gegeben sind.“ „Dass sofort ferner auch die den 
Kegelschnitt im Scheitel G berührende Tangente DE, mithin auch dieser 
Scheitel selbst, so wie endlich auch die Brennpuncte I) I\ oder / durch 
blosse Construction zu finden sind (No. 13).“ U. s. w. Dieses alles findet 
bekanntlich auf analoge Weise bei der Hyperbel in Hinsicht ihrer 
Asymptoten statt. 
Zum Schlüsse kann noch bemerkt werden, dass sich aus dem Obigen 
der nachstehende bekannte Satz (Legendre, VII. Buch, 26. Satz): 
„dass nämlich von allen sphärischen Dreiecken mit zwei gegebenen 
Seiten dasjenige das grösste sei, in welchem der Winkel zwischen 
den gegebenen Seiten so gross ist als die Summe der beiden 
übrigen Winkel,“ 
sehr leicht beweisen lasse. Denn es seien AB und AC (Fig. 3) die ge 
gebenen Seiten. Man nehme AB als fixe Grundlinie an, beschreibe mit 
HC'aus A einen Kreis A und denke sich ferner durch die Gegenpuncte A x , 
B x der Endpuncte der Grundlinie den Kreis M gelegt, der den Kreis A in 
C berührt, so ist, wie aus dem Obigen leicht folgt, das Dreieck ABC 
das grösstmöglicho mit den gegebenen Seiten AB und AC. Da ferner 
der Berührungspunct 6' mit den Polen der beiden genannten Kreise A, M 
in einem Hauptkreise liegt, so fällt also im gegenwärtigen Falle der Pol