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PREMIÈRE PARTIE. 
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directement : reprenons, en effet, les trois égalités 
[B] 
[C] 
W 
f -j- (4 ac — 4 2 ) = P. 2, 
2oX = P(N-|-1) — t — 6, 
Z = P(N + 1) 2 — 2<N +1) +z. 
Les lettres, 1° t et z, relatives à [B], 2° X, N, relatives à [C], représentent 
un système-solution; par conséquent, les égalités 
, _f 2 -K4gc — b 2 ) ISf | j — 2aX + 1 + b ? 
démontrent que les nombres f -J- 4ac — 4 2 , 2aX -\-t-\- b sont respectivement 
des multiples de P; substituant les nombres z et N-]-1 dans Légalité [K], on a 
rj /2ciX. -(- t -)- ¿»\ 2 2aX —|— ^ |j t 1 -f- (Aac — é 2 ) # 
p 7 V P 
p 
chacune des trois parties du second membre est un nombre entier; la somme 
présente ce même état, et est, après réductions, le second membre de Légalité 
Le nombre P, premier absolu, est premier à 4a; par suite, le nombre z est 
multiple de 4a; par conséquent, les deux recherches précitées se réduisent à 
une seule, laquelle est toujours possible, le nombre P est premier absolu, 
cette recherche appartient à l’analyse indéterminée du premier degré à deux 
inconnues. Concluons : Si on connaît un système-solution de l’équation [B], 
ce système amène l’équation [C] ; le système-solution X, N de cette dernière 
équation, donne, après substitution de N dans Légalité [K], un nombre entier Z 
multiple de 4a, et, finalement, on obtient les nombres entiers X, — =Y, 
4 n 
qui constituent une solution de l’équation proposée. 
49. Nous avons, dans la note du n° 50, pris l’engagement d’examiner les 
limites que l’on peut assigner à y dans les équations dont la forme est 
x 1 -\-qx-\-r = V.y, le nombre q impair, c’est-à-dire d’étudier quelques faits 
analogues à ceux que présente, n° 41 et suivants, l’équation .r 2 + /’ = P . y ; cet