PREMIÈRE PARTIE. 
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mière partie du tableau, vérifient l’ensemble du même tableau, c’est-à-dire 
vérifient l’égalité [DJ, reprenons en effet, et multiplions par 4l’égalité [LJ, on 
a, après réductions successives, 
—k-\-kn ] = [2t/-|-4«—2S ] 2 -j-Ar —[4<?—8«—4S] 
(4?+!){q-k-\-An-\-\ ] =: [2<7-f-4/z—23 —1—[8/z—4S—2 ] 
(4?+l)[-?—*+4«-H ] = [4^-j-l—(2^—4^-f-2S-f-l] 3 -|-4;—1—[8^—4S—2 ] 
(4ÿ-1~D[(7—&—4/2—|—4S—{—2] = [2(/—4/z—|—2o—[—T ] 2 -|—4/*—1—[8/z—4S—2 ] 
(4<7-|-l)[<7—k—4(n—o)-j-3] = [2<7—4/z—(—2S—f—4 ] 2 —f-4r—1—[8/;—4o—2 ] 
[S 0 ] (4<7~|—1)[^—k—4(/z—5}-j-3] = [2<7—4/z—|—25—j—2 ]*-|-4r—1. 
Ainsi, étant donnée à résoudre en nombres entiers l’équation J—J—/’=P.jr; 
si, dans les conditions précitées la résolution est liée à la première partie du 
tableau I, cette résolution sera liée à la première ligne horizontale de la se 
conde partie du même tableau. La transformation de l’égalité [S 0 ] en [SJ, en [SJ 
a lieu en multipliant cette égalité, dans le premier cas par 2 2 , dans le deuxième 
cas par 3 2 , les résultats sont après réductions : 
[SJ (4y+1)[ 8£ + 5—44] = [ 8/2—4£—3] 2 +2 2 (4r— 1), 
[SJ (VH )[q—k—\ 2{n—2à)— 8(4—-2)] = [2<7—12/z+6à+5] 2 -|-3 2 (4u— \ ). 
On obtiendrait d’ailleurs, par des calculs analogues aux précédents, les éga 
lités s 3 , s 4 , s 5 ,... s w . 
Conclusion. Étant donnée à résoudre, en nombres entiers, l’équation 
* 2 + x —j— /■ = P,y^ on a démontré, n os 22 et 23, que la connaissance d’un 
système x 17 solution de l’équation, aurait lieu en employant le tableau 1, 
lorsque l’un des groupes P. m 7 —]} et p Q 2 (4r—1) vérifierait 
l’une des conditions que nous avons caractérisées par les mots lignes horizon 
tales de ce même tableau ; l’exposé précédent prouve qu’il existe entre ces con 
ditions une relation intime ; en d’autres termes la vérification faite pour une 
de ces lignes amène la vérification de toutes les autres, en établissant des 
modifications convenables dans la grandeur des nombres entiers m, 2H -j- 1 
et m, Q. 
Recherchons pour le tableau IV, n° 19, les faits analogues à ceux que nous 
avons établis pour le tableau I; cet exposé aura deux cas déterminés par les 
égalités [E,], [F,].