PREMIÈRE PARTIE. 
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les raisonnements précédents répétés pour la troisième ligne horizontale donnent 
14] P4+(3^~TK=(R 2 ) 2 +i -R*, 
et généralement on aura pour la (/z —|— 1 ) me ligne horizontale de la première 
partie du tableau IV, 
[4] P • K + [3r—n{n +1 ) — \ ]u t = (RJ +1 — R*. 
On peut démontrer que la possibilité de résoudre, en nombres entiers, les 
égalités 4, 4 ? 4 4 -, est subordonnée à la possibilité de résoudre, en 
nombres entiers, l’égalité [4]. Soit en effet l’égalité exacte 
[4] PA,+ (3r-1K = (RJ+1 -R 0 , 
les nombres h 0 , w,, R 0 étant entiers ; cette égalité, multipliée par le nombre 4 
4(R.)*- 4R.+ 4=(12r—4>.+P. 4 4„, 
ou , si l’on pose 2R 0 — 1 =t 0 , on a 
(4) 2 +3 — (12 r—4)w,= P. 4 4 0 ; 
or, la condition (4r— 1 )u l = 1 -j-P. m l donne 
(12 r—4)wj= 3-j-P .S/tz, — ¿q j 
substituant dans l’égalité fonction de t et posant 3m 1 -J-44 0 =z 0 le résultat 
final est 
W + u i — P • Z 0 ' 
Soit, en second lieu, l’égalité exacte 
[4] PA 1 =(3r-3> 1 =(R 1 ) 2 + 1 —Ri, 
multiplions par le nombre 4, posons 2R t —1 =t i9 3/w 1 -j-44 1 =2 1 , le résultat 
final est 
[)J (¿ 1 ) 2 +3 2 .w 1 =P.z 1 . 
L’égalité [4] donne l’égalité finale 
M 
(iJ-f-S^^P.z,,