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ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
oO. Reprenons actuellement l’équation primitive, indiquée n° 2. 
«X 2 -f¿X-f c = KY. 
Étant donnée à résoudre en nombres entiers l’équation 
[A] «X 2 + ¿X + c = RY, 
nous avons indiqué la relation qui existe entre cette équation et l’équation 
x^-^-qx-^-r. = P.jr; nous ajouterons une seule remarque, l’égalité X = '~ 
transforme l’équation proposée, et le résultat est 
[B] x^-\-bx-\-ac — «.K. Y; 
admettons que le nombre P soit le plus grand facteur premier absolu contenu 
dans le produit a.K, et posons c«.K = P,H, l’égalité H. Y =jr transforme 
l’équation [B], et le résultat est x*-\-bx-\~ac — P.jr; enfin le changement, si 
cette opération est nécessaire, de quelques unités dans la valeur de l’inconnue 7 
transforme le terme connu ac en un autre r qui est positif et qui est infé 
rieur à P, on doit donc finalement résoudre en nombres entiers l’équation 
r? bxr ■= P .7-, si les systèmes applicables à cette équation sont .r,, 7;; 
,r 8 , / 3 ; #3,7-3, etc. I o On recherchera parmi les valeurs de x celles qui sont des 
multiples exacts du nombre H ; et remarquons bien que chacune de ces recher 
ches est limitée; en effet, l’équation primitive proposée [A] doit présenter une 
valeur de X inférieur au nombre et si l’on admet, ce qui est permis, que le 
nombre c est positif et est inférieur au nombre K, cette équation [A] doit 
avoir une solution de Y inférieure au nombre -)-1. 
51. Les divers principes établis dans toute cette partie de notre traité don 
nent les moyens de résoudre en nombres entiers toute équation dont la forme 
est ax^-\-bx + c =p ,jr; ces principes peuvent être simplifiés, ou du moins 
modifiés par quelques considérations, lorsque l’on descend à des cas particu 
liers ; certains états numériques des nombres a, c, donnent lieu à des recher 
ches qui ont leur intérêt; nous relaterons plusieurs faits qui nous seront utiles 
dans la suite.