104 
ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ, 
or l’égalité [B] peut prendre la forme 
[C] <« + 1) = P-J—1, 
ou la forme 
[D] (« + 1 ) 2 = p *7+^ 
or, si le nombre B désigne une racine primitive * de P, on peut considérer le 
nombre a-\- 1 comme étant un des restes obtenus en divisant par P les termes 
de la série R°, R 1 , R 2 , R 3 —, R” 1 —, R p ~ 1 ; admettons l’exactitude de l’égalité 
reste de = on a par suite reste — = («-(-I) 2 , ou à cause de [D] 
reste ~ =a, et par conséquent reste de =a(a-\-1), ou en tenant compte 
de [C] reste de = P —-1, ou enfin, reste — \ • conclusion inadmissible, 
puisque le nombre R est une racine primitive de P avec la condition P=6</—1. 
Corollaire. Si le nombre P entier quelconque contient un facteur premier 
dont la forme est 3Q —J— 2, c’est-à-dire dont la forme est — 1, la résolution 
en nombres entiers de l’équation x 1 + x-\-\ =P.^rest impossible. Admettons, 
en effet, l’exactitude de l’égalité ¿r-J-a-\-\ —V.h, les nombres a et h étant 
entiers, celte égalité peut, dans les conditions indiquées, prendre la forme 
à:-\-a-\-\ —{Sq-^-tykh) or, le théorème précédent prouve que cette dernière 
égalité est inadmissible. 
1 re Observation. On peut, sans augmenter le nombre des exemples numé 
riques placés à la fin de ce traité, vérifier l’exactitude des deux théorèmes pré 
cédents : l’équation X 2 —J— 31X —j— 24i = P.Y, est, par l’hypothèse X = x—15, 
transformée en celte autre x 2 -\-x-\-\ = P. y ; or, le théorème qui précède 
prouve l’impossibilité de résoudre en nombres entiers cette dernière équation 
lorsque le nombre P premier absolu est représenté par la formule 3Q -j- 2 ; la 
même impossibilité a donc lieu pour l’équation X 2 —(— 31X —|— 241 = P.Y; or, si 
l’on examine la série d’exemples numériques qui terminent ce traité, on recon 
naît que toutes les équations impossibles X 2 —31X —|—241 =P.Y vérifient l’éga 
lité P = 3Q + 2. 
Tout nombre premier a des racines primitives (quatrième partie, n° 113).