PREMIÈRE PARTIE. 
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2 e Observation. Si Гоп pose e lx-\-\ =u, ky=t, l’équation x~-\-x +i=p. r 
prend la forme w 2 -f-3 = P.£, les deux théorèmes précédents sont donc appli 
cables à cette dernière équation, le nombre и pouvant toujours être à l’état 
impair, les théorèmes précités constatent, 1° la possibilité, 2° l’impossibilité de 
résoudre en nombres entiers l’équation гг 2 —|— 3 = P- /, selon que le nombre P 
a la forme, 1° 3Q —{— 1, 2° 3Q —J— 2 ; en d’autres termes ces théorèmes constatent 
l’état du nombre •—3 comme étant, 1° reste, 2° non-reste d’un carré exact 
entier w 2 , divisé par le nombre P, selon que ce dernier nombre a la forme, 
Г 3<7 + 1, 2° 3?-f 2. 
Nous démontrerons ci-après (équation x~-\-x—1 =P .y, transformée en 
l’équation d—5 = P. t) les deux faits suivants: 
1° Selon qu’un nombre rn est reste ou est non-reste d’un carré exact entier d 
divisé par un nombre premier P, le nombre entier—m est dans le même ordre 
reste ou non-reste d’un carré exact entier (m,) 2 , pourvu que le nombre premier P, 
soumis d’ailleurs aux conditions premières exigées, présente la forme kq-\-\ ; 
2° Selon qu’un nombre m est reste ou est non-reste d’un carré exact entier d 
divisé par P, nombre premier absolu, le nombre —•m est dans l’ordre inverse, 
c’est-à-dire est non-reste ou est reste d’un autre carré exact entier (m,) 2 divisé 
par P, pourvu que le nombre P, soumis d’ailleurs aux conditions premières exi 
gées, présente la forme kq-J— 3; si à ces deux principes, dont nous donnons 
par anticipation les énoncés, on unit ceux qui ont été indiqués dans les théo 
rèmes précités, on a le résumé suivant : 
1° Le nombre -|-3 est reste d’un carré exact entier divisé par P; en d’autres 
termes l’équation d— 3 = P. t est résoluble en nombres entiers si le nombre P 
premier a simultanément les formes '¿q -j- 1, kq -J- 1 , c’est-à-dire si ce nombre 
a la forme 1 2q -J- '1 ; 
2° Le nombre -j-3 est non-reste de d, ou l’équation d — 3 = P. t est non 
résoluble en nombres entiers lorsque le nombre P a simultanément les formes 
3y —J— 2, hq-\-\, c’est-à-dire a la forme \ 2q -{-5; 
3° Le nombre -j-3 est non-reste de d ou l’équation d — 3 = P.t est non 
résoluble en nombres entiers si le nombre P a simultanément les formes 3<^—}—1 , 
kq-[-3, c’est-à-dire si ce nombre a la forme 12^-j-7; 
4° Le nombre-j-3 est reste de d ou l’équation d—3 = P. ¿est résoluble en 
nombres entiers si le nombre P a simultanément les formes 3^—|— 2, 4—|— 3, 
c’est-à-dire si ce nombre a la forme 12^ —J—11.