106 
ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
Équation . a? -(- x — 1 = P. y. 
Théorème. Si le nombre P est pair, la résolution en nombres entiers de 
l’équation proposée est impossible; en effet, le nombre x(x-\-\) est pair, 
donc le nombre x 2 + x — 1 est impair. 
Théorème. Le produit P.jr ne peut être représenté par 3h\ en effet, le nom 
bre x(x-\-\) présente l’une des formes 3c, 3c-{-2; dónele nombre a?-\-x—1 
a l’une des formes 3V-|-2, 3V-[-1. 
Théorème. Le chiffre des unités du nombre x*-\-x — 1 est 1,5 ou 9. 
Lemme. Si on a entre des nombres entiers l’égalité H(H — 1) = P.V, I o les 
facteurs P et V sont inégaux; 2° le plus faible de ces deux facteurs est inférieur 
au nombre H —-1 ; 3° si on diminue chacun des nombres H et H — 1 du plus 
faible des deux facteurs P et V, de Y par exemple, la nouvelle égalité sera diffé 
rente, mais conservera elle facteur Y et la forme de l’égalité précédente; un 
simple calcul démontre la vérité de ces propositions. 
Théorème. Si le nombre P contient le facteur 5 2 , la résolution en nombres 
entiers de l’équation proposée x a -j~x — 1 = P./ est impossible. Nous démon 
trons qu’un nombre entier multiple de 5 2 ne peut être représenté par la 
forme a[a — 1) — 1 ; admettons l’exactitude de l’hypothèse problématique, on 
aurait alors, en désignant par A5 un nombre entier dont 5 est le chiffre des 
unités, 5(A5)=.a(a — 1) — 1; cette forme 5(A5) est, dans les conditions éta 
blies, seule admissible, puisque le nombre a{a — 1) — 1 est impair, diminuons 
de 5 unités chacun des nombres a — 1 et a, on a, lemme précédent, 
5.X = (<2 — 5) Ça — 1—5)—1 ou 5. X = \a(a — 1)—1] —10 (a — 3). 
Ainsi le facteur nouveau X doit être le facteur A5 diminué d’un nombre 
exact de dizaines, on aura donc, en rappelant le lemme qui précède, 
5(Âj5) = a 1 (a l — 1)—>1 ; une diminution pareille réalisée un certain nombre de 
fois, donnera au premier membre l’une des formes 5.15, 5.25, etc., le second 
membre conservantia forme M(M—-1) — 1 ; or, le fait démontre qwe cette der 
nière circonstance est inadmissible, on ne peut donc pas vérifier cette égalité 
—1=5.A5, puisque le changement de signe de x donnerait l égalité 
x(x—1) — 1 =5(B.5).