ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
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résultat est (C 3 0)(C 3 1) — '1 =(A 1 7)(B 2 7); une nouvelle diminution du plus faible 
des deux facteurs du second membre, de kj, par exemple, donne le résultat 
final (C 4 4)(C 4 3)—1 — (A 1 7)(B 3 3) : ainsi, la réalité de l’égalité primitive [1] 
exige la réalité d’une égalité dont les nombres sont moins élevés et qui est sem 
blable à l égalité [2] , et on peut démontrer que celle-ci possède une propriété 
analogue, c’est-à-dire donne une égalité semblable et dont les termes sont 
moins élevés, ainsi de suite. 
2° Si l’on a Aj7 ^>1^5, ou si, pour amener l’égalité inverse, on a diminué 
d’un multiple impair de B,5, l’égalité [G] prend la forme (C 3 3)(C 3 2)—1 =(Â 2 7)(B 1 5), 
lemme précédent; diminuons de A 2 7, qui est le plus faible facteur du second 
membre, le résultat est (C 4 6)(C 4 5)—1 = (A 2 7)(B 2 7); une nouvelle diminution 
du plus faible des deux facteurs A 2 7 et B 2 7, par exemple de A 2 7, donne 
(C a 9)(C 5 8) — 1 =(A 3 3)(B 2 7); on ferait sur cette égalité, qui est l’égalité pri 
mitive [4], une remarque semblable à celle qui a été faite dans les deux cir 
constances qui précèdent. 
De l’ensemble des démonstrations faites ou à faire sur le théorème qui 
nous occupe, on déduit les conclusions suivantes : 1° une égalité dont la forme 
est, soit æ 2 —|— x—\ — (A7)(B5), soit x % -\-x—1 = (A3)(B5), amène une égalité 
dont la forme estjr-j-jr—I^A^XBJ); 2° une égalité dont la forme est, soit 
x*-\-x—1=(A7)(B7), soit x*-\-x—1=(A3)(B3), amène une égalité 
dont la forme est f-\-j—1 =(A 1 3)(B 1 7); 3° une égalité dont la forme est 
x*-\-x—1 =(A3)(B7), amène une égalité dont la forme est absolument la 
même et dont les nombres sont moins élevés ; cette seconde égalité en amène 
une seconde dont les nombres sont encore moins élevés, mais toujours entiers, 
ainsi de suite, et la limite est l’état positif des nombres ; 4° le calcul prouve 
que les nombres entiers positifs faibles, par exemple les nombres inférieurs 
à 100, et dont le chiffre des unités est 3 ou 7, ne peuvent, dans les conditions 
précitées, vérifier l’égalité proposée; le théorème est donc démontré. 
Corollaire. Étant donnée à résoudre en nombres entiers, l’équation 
x*-\-x—1=P.jp, et, par suite, l’équation — 5 = P. t, si le nombre P a 
l’une des formes sq -j- 2, §q -f- 3, la résolution proposée est impossible. 
Théorème. Etant donnée à résoudre en nombres entiers, l’équation 
+ x— 1 = P .jr; si le nombre P premier absolu a le chiffre des unités soit 
1, soit 9, c’est-à-dire est représenté par l’une des formes §q-\-\, 5q — 1, la 
résolution proposée est toujours possible : si l’on pose 3r-(- 1 = «, hj—t,