PREMIÈRE PARTIE. 113 
l’équation proposée devient d—5 = P.£; si cette dernière équation est réso 
luble en nombres entiers, l’équation x — 1 = P.jk a la même propriété; 
en effet, dans l’hypothèse admise, le nombre Pi-J-5 est un carré exact entier; 
le nombre u peut toujours être choisi à l’état impair, et, par suite, le nombre t 
a la forme 4/z; de là le nombre^est entier; ainsi, le théorème énoncé sera 
exact, si nous prouvons la possibilité de résoudre, en nombres entiers et dans 
les conditions précitées, l’équation d—5 = P.i; or, cette preuve ou recherche 
doit être précédée de quelques lemmes indispensables. 
I e ' Lemme général. Si l’on divise par un nombre premier absolu tous les carrés 
. ... p i 
exacts entiers, le nombre des restes minima différents est égal à —-—. 1° le reste 
(nV -J- h? . № . 
de p , h <[ P est égal à celui de — ; il suffit donc de considérer les restes 
donnés par les carrés dont les racines sont inférieures à P; 2° le reste de 
-----p -----, m < P est égal à celui de de ces deux faits on conclut que le 
nombre des restes minima différents n’est pas supérieur à 
: or, les carrés 
exacts entiers I 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 .... (aj .... (a^f .... donnent des restes dif 
férents; admettons, en effet, les deux égalités d=-Vq-\-r, (a 1 ) 2 =P^-j-/’; 
on a, après soustraction (a x — a) = P.Y, égalité finale inadmissible par 
suite des hypothèses a < P, le nombre P premier absolu; le lernme 
est donc démontré, et lorsque l’on fera les divisions indiquées, les nombres 
inférieurs à P seront distribués en deux classes ; 1° restes ; 2° non-restes, 
2 e Lemme général. Les faits étant ceux qui ont été établis dans le lemme 
précédent : 1° le produit de deux restes est un reste; 2° le produit d’un reste par 
un non-reste est un non-reste ; 3° le produit de deux non-restes est un reste. 
1° des égalités d — Vq-]-/■, a*=Y*q x -\- j\ on déduit da? = P.H -}- r. r,. 2° Si 
le nombre r est un reste, et si le nombre î\ est un non-reste, le produit r. r x ne 
peut être un reste ; en effet, si de la suite naturelle 1, 2, 3 —^— P—\ 
on sépare les P — - nombres qui sont des restes minima différents, et si on 
multiplie ces nombres par le reste /' : tous ces produits sont des restes, car 
on a d=Vq -j-K 2 =P .h-\-b’, donc, « 2 R 2 = PY -|- r. h : tous les produits 
seront différents; on a fl 2 R 2 =P.V-|-r.4, <2 2 ./?z 2 = P.S-J-/-.c, etc., et l’égalité 
r.b = r. c amène l égalité « 2 (R 2 —P.N ou d(R -j- ni) (R — m) = P. N , 
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