ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
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égalité que l’état premier du nombre P et les conditions a < P, K <P, m <C P 
rendent inadmissible; d’ailleurs, l’égalité K-|-/7z=P donne reste de K 2 = reste 
de nf ou b — c. Ainsi, les produits r.b, r.c, etc., forment l’ensemble de tous 
les restes; si donc, le nombre t\ est un non-reste, le produit r. r l ne peut être 
égal à un des produits r.b, r.c, etc.; et, par suite, si le nombre r.i\ était 
P \ 
un reste, le nombre des restes minima différents serait supérieur à —-—, et 
le premier lemme général prouve que cette conclusion est inadmissible *. 
3° Le produit de deux non-restes est un reste : partageons en deux catégories, 
d’un nombre —g— de termes, les nombres entiers inférieurs à P; c’est-à-dire 
formons deux suites 
W restes /■„, r„ t\, r n , 
[BJ non-restes s„, s,, s^ s n ; 
le produit d’un terme de [A] par chacun des termes de [A] donne des nombres 
tous différents,, et par suite donne tous les restes ; le produit d’un terme de [B] 
par chacun des termes de [A] donne des nombres tous différents, et par suite, 
donne tous les non-restes; si donc le produit de deux non-restes, c’est-à-dire, 
par exemple, le produit s 3 , s 1 donnait un non-reste, ce dernier nombre serait 
égal à l’un des produits de s 3 par l’un des termes, r 10 , par exemple, delà 
suite [A] ; de là les égalités s 3 . s,= PQ-j-h , jy 10 — PQih•> s ifn— f \o) — P • ^ ? 
or, le nombre P étant premier absolu, la dernière de ces égalités est inad 
missible. 
3 e Lemme général. 1° Si le nombre P premier absolu a la forme bq-1-1 , le 
nombre —1, ou, plus exactement, le nombre P — 1, est un reste; 2° si le 
nombre P premier absolu a la forme kq -J- 3, le nombre -j- 1 est un reste. Dé 
signons, dans chacun des deux cas, par a une racine primitive de P; on aura, 
1° dans le premier cas, o n -\- \ — P. IN, ou (a 3 ) 2 =P.N — 1 ; 2° dans le second 
cas, ( 2 — \ — P. M, ou (a n+i y= P.M-j- 1 : de ce lemme et du lemme précé 
dent on déduit plusieurs conclusions : 1° Le diviseur employé étant premier 
absolu et de la forme kq -j- 1, si le nombre -{- /■ est un reste, le nombre — r 
sera également un reste, et généralement les non-restes seront encore non- 
Dans ce lemme et dans le lemme précédent nous excluons le nombre P-= 2, le reste 0.