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ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
l’autre de ces deux mêmes formes; par conséquent, tout produit représenté par 
8y —|— 3 ou par 8<y —5, renferme nécessairement un facteur premier ayant l’une 
ou l’autre de ces dernières formes; ces faits établis, si la loi précitée n’est pas 
générale, des nombres premiers Pj supérieurs à 100, et dans les formes in 
diquées —|— 3, 8<7 —j— 5, donneront des équations résolubles; le plus petit de 
ces nombres étant représenté par P,, on aura l’équation résoluble u?■—2 = P 1 s ? 
et si, parmi les valeurs de u, on choisit, ce qui est permis*, la valeur w, impaire 
et inférieure à P n on aura l’égalité (w,) 2 —2=P,jr 1 , qui donnera l’état suivant; 
la forme de (w,) 2 sera 8^-j-l ; donc, celle de P,/-, sera —|— T ; par suite, celle 
de jr, sera 8^ —j— 3 ou 8^-|-5, selon que celle de P, sera 8#/ -j- 5 ou 8/7 -j- 3 ; ainsi 
dans les conditions premières constatées, la vérification de l’égalité (w,) 2 —2=P i /’ 1 
aurait lieu, le nombre dont la forme est 8#/ —}— 3 ou 8//-[-5, étant inférieur 
à P,, et cela par suite de l’inégalité n l P, ; or, cette infériorité de y\ et l’hypo 
thèse première, le nombre P, minimum, impliquent contradiction; la loi pré 
citée est donc générale, si le nombre P premier présente l’une des formes 8^-j-3, 
8r^ —f-5, la résolution, en nombres entiers, de l’équation proposée est impossible; 
concluons aussi que le nombre -j-2 étant alors un non-reste, il est certain, 
lemmes généraux, que le nombre —2 est 1° reste si l’on a P= 8^ —j— 3 ; 2° non- 
reste si l’on a P = 8^—j—5. 
Étant donnée à résoudre, en nombres entiers, l’équation w 2 -)- 2= P -J, si 
l’on substitue successivement à P des nombres premiers peu élevés, et de l’une 
des formes 8^—5, —1, des nombres inférieurs à 100, par exemple, un cal 
cul préliminaire analogue au précédent, prouve que la résolution des équations 
proposées est impossible : la loi déduite de cette induction est générale ; con 
statons d’abord que tout produit de la forme 8(7-}-5, 8q—1 renferme nécessai 
rement un facteur premier de l’une de ces mêmes formes, par conséquent, si 
notre induction est inexacte, des nombres P, supérieurs à 100 et ayant l’une des 
formes 8(/-j- 5, 8q—1, donneront des équations résolubles; le plus faible de ces 
nombres étant P, on aura l’égalité (m 1 ) 2 -}-2=P î jTj, le nombre u x étant impair 
et inférieur à P t : or, cette égalité donnera à 1° la forme 8/7-j-5, si P, a la 
forme 8*7 — 1 ; 2° la forme 8*7—1, si P, a la forme 8q-|- 5; 3° une valeur infé 
rieure à P, : ainsi le nombre P t n’aurait pas l’état minimum exigé par l’hypo 
thèse primitive; la loi précitée est donc générale et, par suite des lemmes 
généraux, concluons que le nombre —2 étant un non-reste, on est certain que 
Formules générales de l’équation .r 2 -j- r ~ P./, n° 39.