PREMIÈRE PARTIE. 
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le nombre -}-2 est 1° un non-reste lorsque Ton a P=8^-|-5; 2° un reste lorsque 
l’on a P=8<7—\, et cette dernière conclusion prouve l’exactitude du deuxième 
cas *. 
Équation .x s -|- 2æ -J- 8 = P.y **. 
Théorème. Étant donnée à résoudre, eu nombres entiers, l’équation 
.T 2 —(—2.T—|—8=P .y', si le nombre P premier absolu présente l’une des formes Tÿ-j-3, 
7^-|-6, la résolution proposée est toujours impossible; en effet, l’hy 
pothèse =u, donne à l’équation proposée la forme ii-|-7=P./, on peut 
donc faire le raisonnement sur cette dernière équation; or, 1° tout carré exact 
entier, augmenté de 7, c’est-à-dire w 2 -J-7 ne peut donner un carré exact entier, 
excepté lorsque l’on a l égalité u=3; 2° si dans l’égalité « 2 -|-7=P./ on sub 
stitue successivement à P des nombres peu élevés, inférieurs à 100, par exemple, 
et ayant l’une des formes 7/^ —J— 3, 7//-J-5, lq-{-6; on reconnaît que chaque 
nombre entier iâ-\-7 ne peut être décomposé en deux facteurs présentant l’un 
des états simultanés 
[E] 7n.7q, 7n.7*7+3, 7n.7q+b, 7n.7q+6, 7«+3.7^+3, 7/z+3.7y+5, 
7/z —j— 3.7#7 —(— 6, 7/i—j— 5• 7<y—J— 5, 7//—[—5.7//—j—6, 7/i-j-6.7</-J-6, 
la loi déduite de cette dernière induction est générale; soit, en effet, l’égalité 
suivante entre des nombres entiers 
[F] (™+*y+7 = (7?+«XV + i)- 
Admettons l’inexactitude de l égalité 7q-\-a=7p-\-b ; admettons aussi que 
les nombres a et ¿présentent l’un des groupes [E], et que le nombre k offre un 
des deux étals exigés par les hypothèses attribuées à a et h b, si on diminue le- 
nombre 7h-\-k du plus petit des deux nombres 7q-\-a, 7p-\-b, par exemple, 
de 7^-|-<2 le résultat est (7N-J-Æ — «) 2 —7=(7</ —|— ¿«)[7H —|— (« —|— —2k)\ et le 
* Les démonstrations relatives à l’équation x 2 -f-2x—1 = P,y pourraient être remplacées, 
partiellement du moins, par des considérations analogues à celles qui ont été utiles dans l’équa 
tion x 2 -f- x — 1 — P. r; nous avons cru devoir maintenir cette variété d’aperçus qui montre que 
le sujet n’est certes pas épuisé ; remarquons aussi que le mode actuel est analogue à celui qui 
sera présenté ci-après, et relatif aux équations 
•r 2 -f <±x + 8 — P. jr, 3-r*-f 2.r — 3 = P .r, x*-\-3x — Z = P.y. 
** Nous excluons, 1° le nombre premier -}-7 dans l’exemple actuel; 2° le nombre premier 17 
dans l’exemple ,r 2 -f- 3x — 2 = P. r.