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PREMIÈRE PARTIE. 
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leurs non placés dans la même série, est un nombre de la deuxième série; 
3 e le carré de l’un des facteurs précités, ou plus généralement le carré de 
tout nombre impair dont le chiffre des unités est étranger à 5, a l’une des 
formes 40^-J-1,40^-|-9; est donc un nombre de la première série. 
Théorème. Etant donnée à résoudre, en nombres entiers, l’équation 
w 2 —10 = P. t, si on fait le calcul en substituant à P des nombres peu élevés, 
par exemple inférieurs à 100, et présentant l’une des formes de la seconde 
série, le calcul prouve qu’après chaque substitution la résolution en nombres 
entiers est impossible, or cette loi est générale; remarquons d’abord que les 
nombres de la première série ne peuvent donner que des produits ayant l’une 
des formes de cette série, par conséquent tout produit représenté par un nombre 
de la deuxième série renferme nécessairement un facteur ayant l’une des formes 
indiquées dans cette même seconde série; ces faits établis, si la loi d’induction 
précitée n’est pas générale, des nombres P supérieurs à 100, et dans les formes 
de la seconde série donneront des équations w 2 —10 = P. t résolubles en 
nombres entiers; le plus petit de ces nombres étant représenté par P,, on 
aura l’équation résoluble ¿¿ 2 —10 = P t z; et si parmi les valeurs de u on choisit, 
ce qui est permis, la valeur impaire et inférieure à P 15 on aura l’égalité 
(w,) 2 —10 = P^, et l’inégalité z i <' Pi ; admettons provisoirement que le chiffre 
des unités de soit étranger au chiffre 5; dans ces conditions le nombre («,)* 
présente, lemme précédent, l’une des deux formes 40</-j-1 , 40^-j-9, et 
par suite le nombre (u x J—10, c’est-à-dire le produit P,^ présente dans le 
même ordre l’une des formes 40^ -[-31, 40^7 —]— 39 ; le produit appartient donc 
à la première série, mais le facteur P, de ce produit appartient à la seconde 
série, par conséquent l’autre facteur z t est placé dans cette même seconde série, 
et donne une équation il—10 = P.i résoluble en nombres entiers et dans 
laquelle t=z 1 ; conclusion inadmissible par suite de l’état minimum hypothé 
tique attribué à P,; et si actuellement nous démontrons que l’état 5 attribué 
au chiffre des unités de u x ne modifie pas les conclusions contradictoires pré 
citées , le théorème actuel sera démontré ; or, soit l’égalité = 10rc -|- 5 , 
on a alors les trois égalités 
[Â] £/,= 10/z —|— 5 ? 
[B] {uj — 10 = 5[20 n{n +1 ) + 3], 
[C] ( Ul 7-iü=p,*.