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ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
Si, à n et dans l’égalité [B], on substitue successivement les nombres 
constituant la suite naturelle 1 , 2, 3, etc., les résultats affectent la forme 
unique 5(40N-j-3), laquelle, lorsque le nombre N est multiple de 3, peut 
être considérée comme présentant soit l’état primitif, soit un état nou 
veau 15(40M -|- 1 ) ; finalement l’égalité [B] ne peut, dans les conditions 
actuelles, avoir que les deux formes 5(40N-|-3), 1 5(40M —|— 1 ), lesquelles 
formes, substituées dans l’égalité [C], donnent 
[D] (m, J— 10 = 5(40N + 3) = P ,z, 
[E] O,) 2 — 10 = 15(40M + 1 ) = P,2. 
Le raisonnement étant le même dans les deux cas, adoptons l’égalité [E] ; 
1° le nombre 40M-|- 1 ne peut être premier puisqu’il doit présenter le facteur P,, 
lequel est supérieur à 15; 2° ce même nombre 40M —|— 1, appartenant à la 
première série, devant présenter le facteur P,, nombre de la seconde série, 
doit donc, lemme précédent, avoir un autre facteur 4,, nombre de cette même 
seconde série, de là l égalité 40M-}-1 = P,4, ; d’ailleurs, les nombres w,, P,, s 
de l’égalité [E] obéissent aux inégalités m, •< P,, z P,, le nombre 4, de l’éga 
lité 40M-|-1 = P,4, obéit a fortiori à l’inégalité 4, < P, ; ainsi le nombre 4, 
inférieur à P 1? lié à la série de P,, donne une équation (uf—10 = 4,(15?,) 
résoluble en nombres entiers; on retrouve donc la contradiction déjà indiquée. 
Concluons de l’ensemble du paragraphe actuel que, si le nombre P présente 
l’une des formes de la seconde série, la résolution en nombres entiers de 
l’équation lâ —10 = P. t est impossible; concluons aussi que le nombre —{— 10 
étant alors un non-reste, il est certain, lemmes généraux du numéro actuel, 
que le nombre —10 est, 1° un reste si le nombre P a l’une des formes 40^-j-T, 
40^ —|— il, 40^ —j—19, 40^-j-23; 2° un non-reste si le nombre P a l’une des 
formes 40</-f-17, 40// —(— 21, 40^ —|— 29, 40^-(-33. 
Les raisonnements présentés dans les paragraphes précédents, peuvent rece 
voir une grande extension, peuvent être appliqués à un nombre notable d’équa 
tions incomplètes et indéterminées du second degré à deux inconnues ; l’appli 
cation qui suit pourra guider ceux qui voudront approfondir ces recherches 
curieuses ; unie par un lien intime à celle qui est relative à l’équation 
2j:-[-8 = P.jr, nous avons dû la présenter d’une manière très-abrégée, 
laissant au lecteur le soin d’apporter les développements qui ne nous paraissent 
pas indispensables.