DEUXIÈME PARTIE. 
RESOLUTION DE L’ÉQUATION = 
55. Cette recherche sera divisée en deux chapitres, selon que les nombres 
/u constituant une solution, sont premiers ou non premiers entre eux. 
CHAPITRE PREMIER. 
RECHERCHE DE LA SOLUTION x — m, y—n (les nombres m et n premiers entre eux) 
54. La connaissance d’un système-solution x=m, j=n, dans les conditions 
citées, est une suite de la résolution de l’équation auxiliaire £—(Jf—«c)=M.a; 
en effet, si le système x=m, y=n est une solution de l’équation primitive, 
et si deux nombres entiers p. et v vérifient l’équation toujours résoluble 
p,.m-j-v./z=1, un simple calcul prouve l’exactitude de l égalité suivante 
[A] [ft.{tnb-\-nc) — \t[manh)Y — (b 2 —ac)(u.m -(- vn) 2 =(am 2 -\- ^bmn cn 2 ){a\ 2 —âèpv-j-m 2 ), 
ou si l’on pose 
\x{mh ne) — v (jnci —J— nh} z, «v 2 —• 2b[u -|- cp. 2 = s, if—ac = D, 
l égalité devient 
[B] (z) 2 —D = M.s. 
La proposition réciproque n’est pas toujours exacte et par conséquent on 
devra , parmi les solutions entières de l’équation [B], reconnaître celles qui 
ont un système correspondant x=m, J=n, lequel système est la solution de 
l’équation primitive; si cette correspondance a lieu pour une solution z t1 s t de