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ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ, 
l’équation auxiliaire s 2 —D=M.j, nous dirons que le système x=m, y=n est 
lié, appartient à la solution z = z,, s = s l de l’équation z 2 — D = M.î. 
Le nombre des solutions entières de l’équation p.m-\-v.n = 1 est illimité, 
mais parmi ces solutions, il suffit de soumettre à l’essai celles qui correspon- 
dent, dans l’équation z 2 — D = à des valeurs de z non supérieures à — ; 
car, si une de ces dernières, z lf par exemple, donne un système x=m, y—n 
de l’équation primitive proposée, la valeur solution de z, donnera le 
même système pour l’équation première; en effet, les solutions ¡7. et v de l’équa 
tion \L.m-\-v.n=\ étant représentées par les formules {a 1 ={a±/&.î, v,=vzç.mt, 
remplaçons dans l’équation [A] les nombres p,et v par les nombres ^ et v t , on a 
ou 
ou 
(_([/. zt nt)(rnb -|- ne) — (v zp mt)(ma -|- nb)J 2 — (b 2 — ac)\m(a z!z nt) -|- rt(vzfzwi)] 
= (arn 1 -j- 2hmn -f- cié)\o{y zpmtf—2b(iiziznt){y zjz mt) c(u. zb ntf], 
\jx{mb -f- ne) — '/(ma -}- nb) zt t(am 2 -|- %bmn -j- crFf — (¿ 2 — ac)(ujn -}-v n) 
= (a/n 2 2bmn -)- cn~) | wé—2/;av c\p -j- 2t\\x(mb -)- ne) — \(ma -f- nb~\ | , 
(2* zfM.tf — D = M[jî ziz i(2zj ziz M.i) ; 
Ainsi le système x==m, y—n de l’équation primitive, système correspondant 
à la solution z 1 de l’équation [B] et solution non supérieure à -j , sera le système 
correspondant aux solutions z i dtz M. t de la même équation [B]. 
Le calcul précédent prouve que si l’on veut obtenir un système-solution 
x—m, y=n de l’équation ax*-\-2bxy-\-cy 2 =M, les nombres m et n étant en 
tiers et en outre premiers entre eux, cette recherche devra être précédée de 
celles des solutions entières et non supérieures à ^ de l’équation auxiliaire 
z*—D = M .j; or, les solutions mathématiques sont nécessairement subordon 
nées à des propriétés que doivent avoir les quantités données, car ces quan 
tités sont parties intégrantes des questions elles-mêmes : ces propriétés par 
ticulières des grandeurs données sont telles, que les essais peuvent seuls en 
constater la réalité ; sans doute la théorie régularise la marche de ces essais, 
dont elle peut diminuer mais non anéantir le nombre; on peut affirmer que jus 
qu’ici la résolution de l’équation z*—D=M.^, ou comme cette résolution a été 
indiquée par Gauss, la connaissance des résidus quadratiques était un simple