DEUXIEME PARTIE. 
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fait dû, en général, au hasard ; des essais non méthodiques* la donnaient quel 
quefois, mais le plus souvent étaient inutiles. Dans la première partie de ce 
trailé, nous croyons avoir démontré que le nombre des essais, limité évidem 
ment jusqu’ici par le nombre^, essais par conséquent presque toujours inter 
minables, que ce nombre devait être limité, dans le cas le plus défavorable, le 
nombre M premier, par —, c’est-à-dire par le premier quart du nombre des 
essais antérieurs. 
35. Les recherches qui suivent ont pour but d’examiner les relations qui peuvent 
avoir lieu entre une solution de l’équation z 2 —D=M.j et une solution de l’équa 
tion proposée, l’examen de ces relations est subordonné à celui des trinômes**, 
examen pénible, sans doute, mais examen que les travaux des géomètres ont 
pleinement éclairé : nous devions peut-être, pour ces recherches, nous reporter 
complètement à celles qui ont occupé particulièrement Gauss ; mais nous avons 
cédé au désir de présenter un traité complet d’analyse indéterminée du second 
degré à deux inconnues, traité dont on n’a donné jusqu’ici que des fragments 
plus ou moins étendus; nous avons cédé à l’espoir de rendre plus accessible ce 
genre de recherches en simplifiant ou même en changeant plusieurs démonstra 
tions , et surtout en supprimant les notations adoptées par Gauss ; d’ailleurs s’il 
ne nous a pas été donné d’être entièrement neuf dans cette partie, nous croyons 
avoir bien mérité de la science en rendant cet exposé plus méthodique, plus 
rapide; enfin ce serait même avoir été utile que de provoquer de nouvelles 
recherches sur celte partie importante et ardue de l’étude des nombres. 
* On désigne quelquefois par le mot méthode un ensemble d’essais dont le nombre est limité , 
essais qui prouvent la possibilité ou l’impossibilité de remplir les conditions posées dans une question 
P 
mathématique ; les essais successifs des nombres entiers compris entre 0 et - indiquent, il est 
vrai, l’existence ou la non-existence d’une valeur de Z, applicable à l’équation Z 2 -j-A = P.j, 
par conséquent, le procédé connu est méthodique ; néanmoins nous croyons que la définition 
précédente du mot méthode, définition vraie en général , peut devenir inexacte lorsque la 
limite des essais apparaît d’elle même, ou du moins est le résultat d’un examen très-superficiel 
de la question : deux nombres A et B étant donnés, si l’on s’est assuré que le plus faible, B, par 
exemple, ne divise pas exactement le plus élevé A, la recherche du plus grand diviseur com 
mun à ces deux nombres peut avoir lieu par des essais successifs, faits avec la suite naturelle des 
nombres, suite limitée par la moitié de B, ce moyen mérite-t-il le nom de méthode? 
** Au mot forme, adopté par Gauss, nous substituons le mot plus logique et ancien trinôme