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ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
EXAMEN DES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES TRINOMES DU SECOND DEGRÉ. 
t>6. Nous désignons sous le nom de trinômes du second degré, ou simplement 
de trinômes, les fonctions représentées par le polynôme ax~ -(- ‘Ibxj-|- cf, les 
nombres a, b, c étant entiers, les nombres x,j étant indéterminés. De l’étude 
des propriétés des trinômes, on peut déduire, sauf les exceptions qui compren 
nent toute la partie précédente, et le dernier chapitre de notre troisième partie, 
on peut déduire une solution en nombres entiers d’une équation du second degré 
à deux inconnues; nous représenterons toujours le trinôme ax*-\~2bxj-J-cf-par 
l’expression numérique (a, ô, c), quand il ne s’agira pas des indéterminées x et j\ 
ainsi ce symbole (a, b, c) désignera la somme de trois parties, 1° le produit 
d’un nombre entier a par le carré d’une quantité indéterminée; 2° le double 
produit de b par cette indéterminée multipliée par une seconde; 3° le produit 
de c par le carré de cette seconde indéterminée ; par exemple (2, 0, 3), repré 
sente 2.x 2 -j-3/ 2 , c’est-à-dire le double d’un carré ajouté au triple d’un autre 
carré. Les principales propriétés du trinôme (a, b, c) dépendent de la valeur 
et du signe de la quantité 1? — ac déjà indiquée, quantité que nous nommerons 
avec Gauss, Déterminant, et que nous indiquerons, en général, par la lettre D; 
enfin, nous remarquerons que dans toute l’étude qui suit, le nombre D n’est 
pas nul. 
Si le trinôme F 0 = (a 0 b 0 c 0 ), dont les indéterminées sont x 0 , p 0 , peut être 
changé en un autre, F 1 =(« 1 b y c,) dont les indéterminées sont x lf jy lf en 
substituant à x 0 et à jr 0 les valeurs x 0 — a 0 x l -j-, j' 0 =yôX i -\-Kj'ii les nom 
bres a 0 , [3 0 , ^0 5 Ki étant entiers, nous dirons que le premier trinôme F 0 ren 
ferme le second trinôme F,, ou qu’il y a transformation du premier trinôme en 
le second ; ou, enfin, que le premier trinôme devient le second ; soient les deux 
trinômes F 0 =(a 0 b 0 c 0 ), F 1 — {a l b i c,), les indéterminées étant pour le 
premier x 0 , jr 0 , pour le second x l9 je,; si le premier trinôme renferme le se 
cond , on a les trois égalités hypothétiques : 
^V a o) | 2ô 0 (a () y 0/ > —j— 6* 0 (yo) — a i , -j— b 0 (oL$ 0 —J— poy 0 ) | K ■> 
a lKj “h 2ê 0 ( {iff -j- c 0 (ff = c, ; 
de là on déduit