DEUXIÈME PARTIE. 
137 
18 
ie nombre M est, par hypothèse, représenté par le trinôme F 15 lorsque, dans 
ce trinôme, on remplace les indéterminées x x y x par les nombres m x donc, si 
deux nombres (/., v t vérifient, ce qui est toujours possible, l’équation , 
et si on désigne par z x s x la solution de Z 2 — D = M.S à laquelle est liée, appar 
tient le système x x —m u y^—n x de l’équation primitive, on a, comme ci-dessus, les 
égalités g,, {pi x bi —J— 7i x c^ v, {niyt x —J— njj^ — z x , a x (v,V — —J— c, (g-j) = — ) 
or, l’exposé qui suit démontre l’exactitude de l’égalité z 0 = z x . 
1° Un simple calcul vérifie l’égalité 
W (Vo-To v o)( a o ra o+Po w o) — ( Po!U Vo) (To^o+Vo) — Wo—(Vio) (ffVo+%) J 
cette égalité prend la forme 
et cela par suite de 1 égalité //z 0 g. 0 -[-/z 0 v 0 = 1 ; or, la condition a 0 /?z 0 -(- ^ 0 n 0 — m i , 
7o m o K n o — n i > donne à l’égalité [B] la forme 
on peut donc, par suite de la condition m 1 g. 1 -}-/z 1 v 1 = 1, poser les égalités 
et ces nombres entiers donnent les diverses valeurs de g., et de v, ; 
2° Le trinôme F, devient le trinôme F 0 par le système Xi-=y.pc Q -\- %y 01 
y x ■==. *f 0 x 0 & 0 jy 0 , on a donc les égalités 
a i ( a o) 2 + 2/> 1 a 0 y 0 -j- Ci (y 0 ) 2 — a 0 , ai (a 0 ß 0 ) b x (a 0 & 0 -|- ß 0 y 0 ) -|- c^ß 0 = b 0 , 
« 1 (ßo) 2 +2^(ßA) + c 1 (W = c 0 . 
Si actuellement on remplace : 1° dans z x les nombres mpiig-jv,; 2° dans z 0 les 
nombres a 0 b 0 c 0 par leurs valeurs respectives, le résultat final est, après réduc 
tion, z q — Ziî on a donc, par suite, i , 0 = j 1 : si donc on a plusieurs représentations 
du nombre M par le trinôme (a 0 ¿» 0 c 0 ), les divers systèmes x y qui vérifient ces 
représentations, étant composés de nombres premiers entre eux, et chacun de 
ces systèmes étant lié appartenant à des solutions différentes de l’équation