446 
ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ, 
soityü=« 0 Z*-j-2è 0 iM-j-a 1 M 2 le polynôme improprement équivalent au polynôme 
F 0 = A 0 x 2 -[- 2B 0 .r/-|- Âj/ 2 , il est évident que le polynôme g 0 = a a p 2 — c lh ü pqAç-a x (f 
qui est opposé à f sera proprement équivalent à F 0 , on cherchera donc, par le 
problème précédent, une transformation propre de F 0 en g 0 , soit x = a 0 p-\-$ 0 q, 
J r== q 0 p —j— $ 0 q le système qui opère cette transformation , il est certain que F 0 
deviendra f par le système x 0 = a 0 t — , jz=q Q t— , et que cette dernière 
transformation sera impropre. 
Observation. Si on a bien compris l’ensemble des deux problèmes sur l’équi 
valence et sur la transformation propre de deux trinômes dont le Déterminant 
est négatif, on doit reconnaître que ces principes constatés établissent un fait 
rigoureux et qu’une induction attentive pouvait prévoir. Deux trinômes quel 
conques, de même Déterminant négatif, seront équivalents, pourront donner 
lieu à une transformation, lorsqu'après avoir calculé les deux trinômes réduits 
correspondants, on pourra, soit sans, soit avec lemploi de ces derniers, 
constituer une série de trinômes contigus, série dont les trinômes primitifs 
donnés seront les trinômes extrêmes. De là on déduit la règle suivante, pour 
la recherche d’une solution, en nombres entiers, de l’équation soumise à 
l’examen actuel. 
67. Étant donnée à résoudre, en nombres entiers, une équation 
A 0 r 2 2B 0 .x-/ -f- Aj f = M, 
dont le Déterminant (B 0 ) 2 — A 0 A t est —D; on obtiendra d’abord une solution 
2, s lf le nombre z t n’étant pas supérieur à ~ de l’équation auxiliaire 
Z 2 -f D = M.S, 
et cette dernière recherche reçoit, des principes posés dans notre première par 
tie, un caractère pratique qui lui manquait jusqu’ici. Celte solution z t s t étant, 
s’il y a lieu, obtenue, on aura deux trinômes (A 0 B 0 A t ), (M z t de même Dé 
terminant négatif ; on cherchera les trinômes réduits inhérents : de là, s’il y a 
lieu, c’est-à-dire si les trinômes réduits offrent l’un des trois états relatifs sui 
vants : 1° identiques, 2° opposés avec la condition 2B m = A m , 3° opposés avec 
la condition d’égalité de tous les termes extrêmes, de là, disons-nous, on dé 
duira que la solution z l s l est liée, appartient à une solution de l’équation primitive