148 ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
Les deux trinômes réduits sont identiques ; on a donc la série de trinômes 
contigus : 
(49 — 59 317) (317 +59 49) (49 —10 248) (248 —734 2221). 
Le problème n° 39 établit le passage du premier au quatrième trinôme, et si 
x z y3 désignent les indéterminées de ce quatrième trinôme, la transformation a 
lieu par les valeurs ^ 0 = -—■r 3 + 4/’ 3 , jy 0 =—^ 3 + 3jr 3 ; par conséquent, 
1° x 0 =4, y 0 —=3 est une solution de l’équation proposée 
«OO* — 118* o/o +31TOJ=2211 ; 
2° — 1, j 0 = — 1 est une solution de l’équation conjuguée 
49+J— 11 S^ + SnCrJ = 248. 
RECHERCHES SUR LES TRINOMES DONT LE DÉTERMINANT EST POSITIF NON CARRÉ. 
DES TRINOMES RÉDUITS. 
68. Étant donné un trinôme (A 0 B 0 AJ dont le Déterminant positif non carré 
est+Dr=(B 0 ) 2 —«AoA,, nousappelons trinôme réduit le symbole numérique (a 0 b 0 a t ), 
qui représente un trinôme équivalent au trinôme donné, qui est, par conséquent, 
comme ce dernier, une solution de l’équation Z 2 — D = M.S; mais le trinôme 
réduit vérifie, en outre, les conditions suivantes i 1° le nombre b 0 est positif et 
est inférieur à \/D; 2° le nombre a 0 entier, est compris entre \/D—b 0 et \/d+4 0 . 
De ces conditions, on déduit : 1° que les nombres entiers a 0 et a x sont de signes 
contraires; 2° que la valeur absolue, soit de a 0 , soit de a., est inférieure à 2y^D. 
69. I jEMMe. Étant donné le trinôme (A 0 B 0 AJ, qui représente une solution de 
l’équation Z 2 — D=M.S, tout nombre entier B, qui vérifie l égalité —— — 
Ai 
le nombre n étant entier, donne un trinôme contigu, par sa première partie, 
au trinôme donné. On a, en effet, 
B 2 = (B 0 ) 2 — 2B 0 Aj/z + (AJV, ou B 2 — D = (BJ - D — A 1 (2B 0 /z - A+), 
ou B 2 —D = A t (A 0 —2B 0 /i + A 1 /z 2 ) ou enfin B 2 —D^Aj.A. 
La lettre B représente une suite indéfinie de nombres entiers ; un de ces nom-