DEUXIÈME PARTIE. 
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bres, un seul, B,, est compris entre les limites \/D et \/D zp A,, en adoptant pour 
cette seconde limite le signe qui sera contraire à celui que présente A, dans le 
trinôme proposé, adoption dont le résultat est caractérisé par la circonstance 
suivante; dans les deux cas (A^-j-A,), (Â 0 B 0 —A,) que peut offrir le trinôme pro 
posé, si l’on considère comme positive la grandeur absolue de A,, les limites 
du nombre B, doivent être \JD — A, et \/D. Désignons par h le nombre entier, 
immédiatement supérieur à l’expression incommensurable \/D; formons la 
suite naturelle des nombres entiers h — A,, h—* Aj —1 , h — A t —]— 2, 
h Aj-J-3 ... h—3 , h — 2, h—1 ; quel que soit l’état relatif de h et de A,, ces 
termes, dont le nombre est A,, sont compris entre y/D—A, et y/D ; si le premier, 
h—A,, ajouté à B 0 , donne un multiple exact de A,, on a —A,, nombre 
placé entre les limites assignées ; si le fait précité n’a pas lieu, le nombre 
B 0 -j-A—A, devra, soit positif soit négatif, être augmenté arithmétiquement 
d’un nombre entier H inférieur à A,, et tel que la somme B 0 -|-h — A, + H soit 
un multiple exact de A,*, or, le nombre h—Aj-J-H, qui représente alors B, sera 
manifestement entre les limites assignées \/D—A, et y/D : remarquons, d’ail 
leurs, que le nombre A, — \ étant la différence que présentent les termes ex 
trêmes de la suite précédente, il n’y a pour chaque cas hypothétique qu’un seul 
nombre H admissible, et il n’y a, par suite, qu’un seul nombre B, qui réunisse 
les conditions exigées. 
70. Théorème. Étant donné un trinôme (A 0 B 0 A,) qui représente une solu 
tion de l’équation Z 2 — D = M.S, il existe un seul trinôme réduit équivalent 
au trinôme proposé, et l’on peut obtenir ce trinôme réduit par une suite de 
trinômes contigus : parmi les valeurs de la lettre générale B, employée dans le 
lemme précédent, on adoptera celle qui est comprise entre y/D et v^DzpA,, en 
suivant, pour le signe de cette seconde limite, la règle indiquée; soit B, celte 
valeur, on aura ainsi le trinôme (A, B, A 2 ) contigu par sa première partie au 
trinôme primitif; si la valeur absolue de A 2 est inférieure à celle de A,, le nou 
veau trinôme (A, B, A,) sera le point de départ d’une opération semblable à 
l’opération précédente, et donnera un trinôme (A 2 B 2 A 3 ), etc. ; on continuera 
le même genre d’opérations jusqu’à ce qu’on obtienne un trinôme (A OT B m A TO+1 ), 
dans lequel le nombre A m+1 est non inférieur à A OT ; et cette circonstance aura 
lieu, puisqu’une suite de nombres entiers A, A 2 A 3 A*, etc., ne peut décroître 
indéfiniment; le trinôme (A m B OT A w+1 ) équivalent n° 57 au trinôme primitif