150 ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ, 
donné sera le trinôme réduit cherché : on doit actuellement démontrer l’exac 
titude des conditions, 1° A m et A m+1 , nombres de signes contraires; 2° B w 
nombre positif inférieur à /D; 3° valeur absolue de A m comprise entre \/D—B m 
et \/D-j-B OT . 
1° Le trinôme final obtenu est (zizA TO B m A m+I ) et le nombre B w est par hy 
pothèse compris entre \/D et \/T> zp A OT ; le signe à choisir, pour celte seconde 
limite, étant contraire à celui que le trinôme offre pour le terme A TO ; il suit de 
là que si l’on pose les égalités 
[G] VD-B„=^, [H] B„-(v/DqrAJ= ?) 
les nombres p et q sont essentiellement positifs ; de [G] et de [H] on déduit 
[K] ■? 2 +2?/-+2^v / D = D_(BJ+(A m ) ! , 
et la condition (B OT ) 2 —D = A m . A m+1 donne à l’égalité [K] la forme 
(f + 2qp+2p \/D = (A m ) ! — A„. A„ +1 ; 
par conséquent le second membre de cette égalité étant essentiellement positif, 
le nombre A m n’étant pas supérieur à A w+1 , on est assuré que les nombres A m 
et A m+1 sont de signes contraires; 
2° Des conditions A m = < A m+1 , A m et A m+1 de signes contraires, 
(bm) 2 —- D = A m- A m+1 , on déduit 
Bjn (val. absolue) < y/D A m . A m+1 (val. abs.) <D A m (val. abs.) < \Æ>; 
donc par suite on a \JD zp A m nombre positif, et par conséquent le nombre B m 
compris entre \JB et v/DzpA m est positif; 
3° Le nombre \/DzpA TO — 1 B OT étant égal à—q, est négatif; le nombre 
\/D zpA m -|-B TO est positif; et par suite, en rappelant le choix à faire pour le 
double signe de A m , on reconnaît que ces conditions donnent, dans le même 
ordre, sjD— A m — B m <0, y/D— A m -[-B w >0, ou la valeur absolue de A m 
comprise entre y/D— B m et y/D-[-B TO . 
Le trinôme (zbA TO B TO A m+1 ) est donc un trinôme réduit, et son mode de créa 
tion prouve que l’on peut toujours calculer un trinôme réduit lié, par une suite 
de trinômes contigus, à tout trinôme donné; par exemple le trinôme (20 14 4) 
donne la série (4 14 20)(20 6 —4)(—4 10 4); le trinôme (956 366 140)