J 64 ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ, 
trinôme devient le second, par le système x Q = 4X 0 -(- /Y 0 , jr 0 =/>X 0 -j-^Y 0 : on 
a calculé , les nombres 4, /, p, q entiers ; \ 0 la période du trinôme f, c’est-à- 
dire la suite indéfinie, dans les deux sens, des trinômes réduits inhérents à f 0 j 
2° les systèmes correspondants qui opèrent la transformation de f Q en ces 
derniers trinômes : les résultats donnés par les calculs sont les suivants : 
f-m •••• /-2 /-1 /o f /2 .... fm 1 j etC. 
— 1 ¿2—m h—(j»_ 1) -+■&—(m—1) •.¿2—2 h—i ¿¿—1 ¿¿—1 ¿—1 ¿¿o <2q ¿0—¿2, -“¿Z, Cl* itth% —¿/3... // m zpZ7. m _)_i, CtC. 
a —1» P—W Y~m °—m. • • • • a —2 ,®—2 Y -2 0-2 c/ —1 f'—1 Y—1 1 a l pl Yl a 2 ^2 Y 2 ‘ ' * *•» Y m 5 CtC. 
Les couples , .'r 2 jr 2 , etc. .x_j .x_ 2 , ^r_ 2 etc. indiquent les indéterminées 
des trinômesf, etc. /1,, /1 2 , etc., chaque système a, ¡3, y, ¿1 représentant 
l’ensemble des coefficients de la couple xy, qui opère la transformation; ainsi, 
par exemple, x 0 = y. y x x -(- , j 0 = ^ r, transforme /’ en f. Ces préli 
minaires établis, et rappelant que le système x 0 —ÆX 0 -J-/Y 0 , y 0 —/>X 0 -|-yY 0 
transforme f 0 en F 0 , nous démontrons que cet ensemble de conditions amène 
l’une des deux circonstances suivantes ; ou bien le nombre 4 est égal au premier 
terme d’un des systèmes, à a m , par exemple, et alors on a les égalités /=i(3 m , 
p=.y m , q = $ m ' ou bien le nombre —k sera égal au premier terme d’un des 
systèmes, à a m , par exemple, et alors on aura les égalités —/=[3 m , >—p = y m , 
— q=.(} m ' dans l’une et dans l’autre circonstance, on aura évidemment F 0 ==/ TO ; 
la démonstration est une conséquence de l’examen des quatre égalités hypothé 
tiques. 
[1] a ^ + 2b 0 kp — ajf = Â 0 , [2] ajd + b ü (kq -\-pl) ~ ayq = B 0 , 
[3] aje-\~2bjq — ajf=. — A,, [4] kq—pl=\; 
examinons d’abord et successivement les divers cas de nullité de l’un des nom 
bres 4, /, p, q. 
1° 4 = 0, l égalité [4] donnepl — —1, de là l=dz \, /> = zp \, l égalité [11 
donne —æ 1 = A 0 , l’égalité [2] donne = zpy ; ainsi dans l’hypothèse ac 
tuelle, le trinôme F 0 = (A 0 B 0 —A,) est [—a Y (—bçzfza/q) M], il est donc contigu 
au trinôme /¡=(« 0 b 0 — a,); et puisqu’il est réduit, il doit, dans la période de /„, 
g I 
être placé immédiatement après /’; on a d’ailleurs, n° 59, -°_ a ~ =— An et 
par conséquent on a 
4=a, = 0, zp/=ft=—1, zp/?=y 1 = 1, h=<7=4=“4;