DEUXIÈME PARTIE. 
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2° /=0, l’égalité [4] donne kq — 1, de là k=.zt:\, q==± 1, l’égalité [3] 
donne « 1 = A 1 , l’égalité [2] donne b 0 —B 0 =zh«,/?; or les trinômes F 0 et sont 
réduits, donc les deux nombres b 0 et B 0 sont placés entre \/D et yD qzii n 
n° 69, suivant que ce dernier nombre est positif ou est négatif, on a donc 
4 0 =B 0 , et par suite /> — (), de là zb4==a 0 =1, 1= |3 0 =0, p—y 0 =0, z[zq=î>—\, 
et les deux trinômes /’ et F 0 sont identiques; 
3° p =0, l’égalité [4] devient kq — \, de là 4=zizi, ^=zt1, l’égalité [1] 
donne « 0 =A 0 , l égalité [2] donne b 0 — B 0 —zjz«/; on a donc, comme dans le 
cas précédent, 4 0 = B 0 , et les deux trinômes /’ et F 0 sont identiques; 
4° q=0, l’égalité [4] devient pl——1, de là /=zh1, y?=qz1, l’égalité [3] 
donne a 0 = — A t , l’égalité [2] donne 4 0 -[-B 0 = zttf 0 4; on a donc la suite d’éga 
lités zfck = a_ 1 = 4 0 , z±z/ = = 1, zhp=y L _ l = — 1, q=($_ l = 0, et dans 
la période générale indiquée le trinôme F 0 =(A 0 B 0 —A t ) est égal au trinôme 
/-! = ('—«-1 ¿-i «„)• 
Démontrons actuellement l’exactitude du théorème lorsqu’aucun des nombres 
entiers 4, /, y^, q, n’est égal à zéro; et remarquons d’abord que les nombres frac 
tionnaires -, ayant nécessairement le même signe *, ces nombres d'une 
part, le nombre a 0 de l’autre, peuvent avoir, 1° le même signe; 2° des signes 
contraires. 
1 er Cxs. Les nombres a 0 | ont le même signe. Si nous conservons 
les notations adoptées dans les lemmes précédents, et si nous désignons les 
fractions 
a l 0 *2 ßl <*3 ßä a 2m 
etc 
^ ’ Y2 °1 ’ Ya ^2 ’ Y2m y2m—1 
?! ?2 9s •••• 9ain Çam+i ?2m+27 etc. 
par 
* Si avec les nombres entiers k, l, p ,q, dont aucun n’est nul et qui vérifient l’égalité kq—pl—\ , 
on forme les quotients - et - , ces quotients ne peuvent alors avoir des signes contraires ; re 
marquons , en effet, que si les deux éléments de l’un de ces quotients, que si, par exemple, les 
nombres k et p constituent un quotient positif, c’est-à-dire que si les nombres k et p ont tous 
deux le même signe, soit positif, soit négatif; les nombres / et q ne peuvent alors avoir des 
signes contraires, c’est-à-dire ne peuvent donner un quotient négatif, conclusion à laquelle 
conduit l’égalité hypothétique kq—pl=l; d’ailleurs, le signe des deux nombres fraction- 
k l . p q 
naires - - est aussi celui des nombres fractionnaires - 7 . 
P <i 
k l