ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
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On a prouvé, n° 77, V que la quantité irrationnelle L: 
v/D 
est alors 
comprise entre ^ et ^ ; 2° que les diverses réduites de cette même quantité L 
transformée en fractions continues, sont par ordre les fractions 
?1 ?2 ?3 7 ?2m+2 ? e ^- C# 
Toutes ces grandeurs ont le même signe, et nous admettrons , mais seulement 
pour fixer les idées, 1° que ces réduites sont positives, 2° que dans les deux 
groupes [M] et [N] les quantités croissent par ordre vers la droite. 
v/ô — b 0 
[M] 
[N] 
l 
?1 <Pï ?-•••• ?2m+l 
ou L 
a 0 
\/D — ¿o 
«o 
ou L..., 
?6 ?4 ?->• 
Quelle sera, dans la suite [N], la position du nombre fractionnaire 4? la position 
à la droite de <p 2 est inadmissible; en effet, dans tout le cas actuel, la quantité L 
étant placée entre ^ et y si l’inégalité ~ ]>© 2 était exacte, on aurait, 1° la quan 
tité <p 2 placée entre l - et y par suite le dénominateur de <p 2 serait supérieur au 
nombre q\ 2° la fraction l - serait placée entre <p 1 = 0 et <p 2 ; par suite le nombre q 
serait supérieur au dénominateur de 9 2 , et ces deux conditions finales impli 
quent contradiction : ainsi, il est démontré que la fraction j est ou une des 
réduites <p t tp 2 <p 3 , etc., ou du moins est placée entre deux de ces réduites. Si, 
après avoir rappelé l’inégalité admise^ >» y nous supposons que la fraction ~ 
est placée entre cp 2m et <p 2m+2 , il est certain que cette hypothèse amène l’éga- 
lité j = Çam-H : «« effet, 1° les réduites <p 2w <p 2m+2 <p 2m+4 , etc., sont supérieures à 
la quantité L, et décroissent; 2° les réduites 9 2m _, <p 2m+1 <p 2wl+3 , etc., sont infé 
rieures à la quantité L, et croissent; 3° la fraction ^ est supérieure à la fraction -s 
4° la quantité L — v D — est placée entre — et — ; on a donc alors la suite dé- 
«0 . 1 q p 1 
croissante [HJ <p 2n , y <p 2m+2 , L, <p 2m+1 ; si l’égalité problématique - = % m+l est