DEUXIÈME PARTIE. 
175 
former un système 7 = Và+&7i? 7o = Và+\ro et ce système changera 
le trinôme proposé (A 0 B 0 A t ) en un trinôme équivalent f Q = (a 0 b 0 a i), et si le 
nombre a 0 est entre les limites 0 et 2h — \ inclusivement, ce trinôme est celui 
dont on fait la recherche; il obéit effectivement aux conditions b Q = h, 7 = 0: 
la transformation indiquée donne les égalités 
[ G ] K — A o a oPo + A( a (A“hPoTo) A U(A ? 
[H] 7 = AtfJ+ 2B 0 PA -f’A^J. 
Or, si l’on emploie les égalités A 0 p 0 = & 0 (A — B 0 ), AA — — p 0 (/i —|— B 0 ), déduites 
de la condition [E], les deux égalités [G] et [H] prennent la forme b 0 =k v 7=0. 
Si le nombre 7, premier terme du trinôme calculé f=(a 0 b 0 a i ) 1 n’est pas limité 
par 0 et 2h—1, on cherchera le plus faible reste positif entier 0 a 0 de la divi 
sion ~r=^-(-ÿ~ ; ce reste sera limité par 0 et 2h—-1 ; alors le trinôme réduit 
cherché sera ( 0 <z 0 b 0 7), c’est-à-dire ( 0 « 0 h 0) : en effet, ce dernier trinôme est 
manifestement réduit; on doit donc prouver qu’il est équivalent au trinôme pri 
mitif proposé (A 0 B 0 A t ); or, \° celui-ci est équivalent au trinôme intermédiaire 
(7 b 0 7) = (7 h 0); 2° l’équivalence des trinômes (7 h 0) et 0 « 0 h 0) est démon 
trée en se servant de l’égalité a 0 = 2hq-\- () a 0 ’, on reconnaît, en effet, que le tri 
nôme (7 h 0) devient le trinôme { o a 0 h 0) par le système 7=7, 7,——77-j-7,, 
lequel système vérifie la condition générale a 0 ^ 0 —(3^=1. On peut donc calculer 
un trinôme réduit équivalent à un trinôme quelconque dont le Déterminant est 
positif carré : remarquons, d’ailleurs, que le nom est la seule similitude que 
présentent ces trinômes comparés aux trinômes réduits calculés dans les circon 
stances analogues qui précèdent. 
82. Théorème. Deux trinômes réduits (7 h 0) et (7 h 0), qui sont équiva 
lents, sont nécessairement identiques. Si le système qui établit le passage du 
premier trinôme au second est o; 0 =a 0 .r 1 -|-p 0 7 1 , 7=—}— «^/i, on a les égalités 
[1 ] ^o( a oJ | 2/%Y 0 7 ? M 7) a oPo+ K*oK + (Vio) — ^ 1 
[3] <W+^0=o, [4] «A— 
De l’égalité [3] on déduit l’une des deux égalités ¡3 0 =0, «A-|-24à 0 = 0; 
mais la seconde est inadmissible : soit en effet, a 0 (3 0 -J- 2M 0 =O, les égalités [2] 
et [4] donnent p 0 (fi 0 a 0 24y 0 = 0 c’est-à-dire 7a 0 -|-24y 0 = 0, résultat qui,