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ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ, 
étant irréductible, chaque nombre A 0 , A i est respectivement multiple de [3 0 , de & 0 : 
de ces égalités on déduit = ^ = p et -i~— — =q-, les nombres 
. P° S 0 1 \ m % // 
p et q sont entiers, et un simple calcul prouve l’exactitude de l’égalité 
(Vo—Po7o)(/^0+ £To) = A oOo) 2 + 2 B oVo+ A i(7o7— M. 
Ainsi, à toute représentation du nombre M par le trinôme (A 0 B 0 A t ), c'est-à-dire 
à toute résolution, en nombres entiers, de l’équation proposée, correspond une 
décomposition du nombre M en deux facteurs entiers ; si donc on désigne par 
m tout diviseur positif ou négatif de M , on aura toutes les solutions possibles 
de l’équation proposée, en recherchant successivement les solutions entières de 
toutes les équations représentées par les deux formules Vo— 
M 
px 0 -[- qj 0 = — : remarquons, d’ailleurs, que les valeurs x { 
Mo 0 — pin 
M1A+?™ 2 
Jo 
m{\\P + É/7 ) ’ 
, déduites des formules précédentes, sont déterminées, et cela 
'<\\P + V/) 1 
pour tous les nombres entiers substitués à m; on reconnaît effectivement que 
le nombre {\p-}- $ 0 q ne peut jamais être égal à zéro. 
RÉSOLUTION, EN NOMBRES ENTIERS, DE L’ÉQUATION A 0 (* 0 ) 8 -f 2B 0 .r û?0 -f A x (r 0 ) 2 = 0. 
86. L’équation proposée est l’équation du numéro précédent, modifiée par 
l’hypothèse M=0; or, la méthode indiquée paraît inapplicable. Mais si nous re 
prenons les notations alors adoptées, il est évident que les solutions de l’équa 
tion nouvelle sont données par la résolution, en nombres entiers, de l une des 
équations £ 0 .r 0 —[3 0 / 0 = O, p x v^-\-<^„=0, les nombres p n q x étant les quo 
tients entiers et premiers entre eux obtenus en divisant les nombres p et q par 
le plus grand commun diviseur de ces deux mêmes nombres : ainsi les systèmes 
applicables à l’équation proposée sont x 0 = $ 0 z, = x 0 = q x z, / 0 =—p t z] 
le nombre z étant entier quelconque, les nombres [3 0 , d’une part, p x q x de 
l’autre, sont premiers entre eux. 
RÉSOLUTION, EN NOMBRES ENTIERS, DE L’ÉQUATION A 0 (^ 0 ) 2 -f 2B o ^ o r 0 + A/rJ 2 = M, 
LORSQUE LE DÉTERMINANT D EST NUL, C’EST-A-DIRE LORSQUE LE PREMIER MEMBRE 
DE L'ÉQUATION VÉRIFIE L’ÉGALITÉ (B 0 ) 2 — A 0 A, = 0. 
87. Lesprincipes développés dansl’étude du trinôme (A 0 B 0 A t ) excluent l’hypo 
thèse D=0, n° 86, et sont, par conséquent, non applicables à la résolution,