DEUXIÈME PARTIE. 
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en nombres entiers, de l’équation proposée, mais, dans la condition précitée, 
l’équation est résoluble par une méthode particulière. Remarquons d’abord que 
tout polynôme de la forme A/x 0 ) 2 ±2B 0 .2: 0 ^* 0 -J-qui vérifie l égalité 
(B 0 ) 2 —A 0 Aj = 0, peut prendre la forme m[gx 0 -±zhf$, les nombres entiers get h 
étant premiers entre eux : soit, en effet, d le plus grand commun diviseur des 
nombres A 0 et ; donnons à d le signe qui nécessairement appartient aux deux 
nombres A 0 et A,; les quotients^’, entiers et premiers entre eux, donnent 
le produit —lequel est égal au carré exact entier ; par suite, ces quo 
tients sont des carrés exacts entiers g 2 , A 2 , les nombres g et h étant premiers 
entre eux; ona donc g-h— ±0, et la substitution de cette valeur dans le po 
lynôme indiqué donne l’égalité 
A 0 W + 2IVo/o + H/J=d(gxo ± hr 0 )\ 
Ainsi l’équation proposée prend l’une des formes 
d(gx 0 -\-kj 0 y=M, d(gx t) — hyj = M. 
L’adoption de la première forme donne à résoudre l’équation 
d{gx 0 + hrof=№, 
M 
et le nombre — , carré exact entier, étant représenté par K 2 , les solutions de 
l’équation primitive proposée sont données par la résolution des équations 
gxo + ATo = ± K, 
les nombres g et h étant premiers entre eux; par conséquent, à ces équations 
toujours résolubles, on appliquera les méthodes connues. 
RECHERCHE DES DIVERSES SOLUTIONS x = m , j — n, DE L’ÉQUATION 
ax 2 -|- 2bxy -}- = M. ( Les nombres m et h étant premiers entre eux. ) 
88. Problème. Si le trinôme F 0 = (fl 0 ô 0 c 0 ), dont les indéterminées sont x 0 
renferme le trinôme F, = («, b t c t ), dont les indéterminées sont x i , et si l’on 
connaît une quelconque des transformations de F 0 en F t , déduire de cette 
première transformation toutes les transformations semblables (n° 56). Le