DEUXIÈME PARTIE. 187 
mules [E] changent le trinôme F 0 en le trinôme F, ; en effet les hypothèses sont 
F o = («o A c„) = «oW 8 + 2A*o Jo + cl J 0 ) 2 
F, = («!^ q) —« 1 (x 1 ) 2 +2^ 1 jr 1 + 6 'i(rô% 
? - D/i 2 = m 2 «„(aj + 26 0 a 0 To + c 0 ( To ) 2 = a x , 
^o a oPo + A( a oA+ PoTo) “I - c oY(A) A ? 
tt o(Po) 2_ t _ 2^oPfAj + C o(A)°' — c \ Î 
[a/ — (Vo+ c oTo>] x i + [P(/—{APo + C 0«o) M ]7l 5 
= [t./+ ( a 0 a 0 + AYo»i + IV + (^oPcA - W“]/l j 
on doit prouver que les deux dernières formules transforment F 0 en F, : or, si 
l’on prépare les valeurs de m 2 (.r 0 ) 2 , nrx 0 / 0 , m 2 (/ 0 ) 2 ; si on multiplie respective 
ment et par ordre ces valeurs par a 0 , 2b 0 , c 0 ; enfin, si on additionne les produits, 
on remarque que l’ensemble des coefficients du terme (t. u) constitue deux 
sommes qui sont égales et de signes contraires, par suite ce terme est annulé 
et le résultat général est 
^(■ ï o) 2 + 2VVo+ C 0 W2 i;o)- i W a o) 2 + 2VüTo + C o(To) î ]^—Lft) 2 "--«0 C o] 
\ a lsf + 2 ¿ 0 a oY 0 -j-c 0 (y 0 /] u ~ ! (Ai)H~ 2 j [« 0 a oPo+A( a oA+ Poïo)+ 6 “oT(Ail /2 —["A) 2 — a o c oi 
i a o a oPû -h A( a ü A PoTo) A - c oToAK 1 x \j\+! WPo )“+ 2APüA4 -c o(A) 2 ] /2 —K A) 5 ~~ a <fo) 
K(Po) 2 +2APoA+ c o(A) s ] m2 ! ( ji) 2 » 
ou, après les substitutions indiquées par les conditions hypothétiques, 
a ü m\x,y + 2b,m\x ü j 0 + c 0 m\jJ ={f — Drf^xJ -j- 2 b x xj\ + c t { j,) 2 ] 
ou enfin a 0 (x o y + 2AVo + c 0 (jr 0 ) 2 = « 1 (^ 1 ) 2 +2^ 1 / 1 + c//,) 2 . 
3° En donnant des valeurs arbitraires aux Déterminants D et D,, nous avons 
conservé à la démonstration précédente un caractère général; mais il faut alors 
supprimer les solutions fractionnaires données par les formules [E] : dans la 
théorie qui nous occupe, les nombres D et D, sont égaux, or, dans cette hypo 
thèse, toutes les solutions données par les formules [E] sont des nombres 
entiers, en effet le nombre m étant le plus grand commun diviseur des nombres 
a x , 2b x , c,, ce nombre a, n° 58, la même propriété, relativement aux nombres 
a 9 , 2b ot c 0 ; on a d’ailleurs les égalités f—Dw 2 = m 2 , f—[(ô 0 ) 2 —« 0 c 0 ]m 2 =/w 2 ,