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ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
donne le même résultat qui est — ; on a alors les égalités 
ou finalement t e+1 t e _ y — — t e et w e+1 u e _ y = ‘^-u e \ ces divers nombres sont 
entiers; rappelons qu’il existe un trinôme F 0 = (A 0 B 0 A,) dont le Déterminant 
est T), dont le trinôme réduit est cp 0 = (<2 0 ô 0 —a,) et qui donne rn lorsque l’on 
cherche le plus grand commun diviseur des nombres A 0 2B 0 A,; on a donc 
T 2 — Ü 2 (B 0 2 —A 0 A 0 = ^, donc le nombre 4T 2 est exactement divisible par 
et par suite — est un nombre entier positif; donc enfin les divers nombres 
t 0 t y 4 .... t e , u 0 u y u e sont entiers et les termes de chaque série croissent 
indéfiniment. 
3° Toute solution entière de l’équation f— D= est comprise dans les 
deux suites ¿ 0 t\ t 2 ...t e , u 0 u x u 2 .... u e ; admettons l’hypothèse de deux nombres 
entiers T t U,, constituant une solution de l’équation f—Di?—nû et étrangers 
aux séries précitées : les termes des deux séries croissent indéfiniment ; ainsi 
le nombre U, est nécessairement placé entre deux termes u n et u n .^ de la série 
u 0 u y u 2 .... on a donc U, > u n et U t < u n+i ; or, nous voulons prouver que 
ces deux dernières égalités sont inadmissibles, et la démonstration présentant 
quelque longueur sera subdivisée en plusieurs paragraphes désignés par les 
lettres a), b), c), d), e\ f). 
a) . Les systèmes T, U,, t n u n constituant deux solutions de l’équation 
f—Du 2 = m 2 , un simple calcul prouve que le système G = ^-(T 1 .i n —D.U 1 .m„), 
1 
u =—(ü/ n —T y u n est une solution de la même équation. 
b) Les nombres 6 et u sont entiers : 1° rappelons qu’il existe un trinôme 
A 0 B 0 A t ) dont le Déterminant est D; 2° que le nombre m est le plus grand 
commun diviseur des nombres A 0 , 2B 0 , A t ; 3° que les systèmes T\ 13,, t n w n sont 
des solutions de l’équation = ces diverses conditions donnent les 
égalités 
[1] (Tj-DCUJ^m* 
[2] 
[3] (BJ—“D=A 0 Â 1 ;