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ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
CHAPITRE II. 
RECHERCHE DES SOLUTIONS x=p, y = q DE L’ÉQUATION ax* -f- %bxj -f cf = M 
(les nombres p et q non premiers entre eux). 
101. La méthode de résolution , en nombres entiers, de l’équation 
aod-(- c lhxy-\- cy = M , a été, n° 35, divisée en deux études distinctes; les 
principes exposés dans le chapitre précédent font connaître les solutions qui, 
pour chaque système, présentent des nombres premiers entre eux, nous 
devons compléter celte théorie en donnant les moyens d’obtenir les systèmes 
qui ont le caractère indiqué dans le titre actuel. 
Etant donnée à résoudre, en nombres entiers, l’équation 
A 0 (XJ+2B ( X 0 Y u + A 1 Cï.) ! =M; 
la recherche des solutions X 0 =p, Y' 0 =q, les nombres p et q non premiers 
entre eux, est tellement simple que l’ordre méthodique adopté est le seul 
motif qui place cette étude dans un chapitre particulier. Soit en effet le sys 
tème X 0 =-p i .d 1 Y {i =q l .d, les nombresp x et q i premiers entre eux, applicable 
à l’équation proposée, on a l égalité 
Kipîfd* 4“ 2 Rappel*+A ¿qtfd* = M, 
M 
ou K{Pif + 2B 0 /v/i + A Iq^f — ^ ; 
ainsi la recherche générale qui nous occupe est partagée en autant de re 
cherches particulières déjà connues qu’il y a de facteurs carrés dans le nombre 
donné M ; la division de ce dernier nombre par un de ces diviseurs carrés d~ 
transforme l’équation primitive proposée en une autre dont la forme est 
A 0 (^o)* "h 2B 0 a: 0 j 0 -|- A^jrJ=, 
et tout système x a =-a, / 0 =6, les nombres a et h premiers entre eux qui est 
applicable à l’équation transformée, donne le système X 0 =a.d,Y 0 =b.d 
applicables à l’équation primitive proposée. 
Exemple. Équation (X 0 ) 2 —•48(Y 0 )*=1 521 ; l’équation auxiliaire Z 2 —48=1 521 S, 
modifiée par l’hypothèse S=m — 1 , donne Z 2 —(— 14T3 = 1521 m, et l’on peut 
agir sur celle-ci, soit directement par les essais indiqués n° 47, soit indirec-