«50 ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ, 
alors dans la série [CJ entre 0 et a* hQ au moins un terme a nh qui vérifiera l’égalité 
reste a nh —\ ; en effet, dans l’hypothèse actuelle, on a a nh = a nh ' d , ou si l’on pose 
nz=t, on a a nh — o th ' d ou a nh = a? h ' Q , ou enfin reste a nh =-1, la condition n=-t 
peut toujours être remplie, la lettre n prenant tous les états numériques entiers 
compris entre î et 2Q, et parmi ces nombres est placé le nombre i, puisque 
l’on a t<^ 2Q. 
La subdivision établie dans la démonstration générale qui précède n’était 
pas indispensable, mais facilitait l’explication ; si actuellement on réfléchit sur 
l’ensemble de cette démonstration, si l’on rappelle que les restes donnés, dans 
les deux cas, par les séries [A] et [G] comprennent, la première, tous les nombres 
entiers inférieurs à P—4q-\-\ ; la seconde, tous les nombres entiers inférieurs 
à P=Aç—1, on reconnaîtra que l’on peut établir le théorème général suivant. 
122. Théorème. Le nombre P est premier absolu, le nombre a est une 
racine primitive de P ; si on élève a aux diverses puissances marquées par des 
exposants premiers à P — 1, ces diverses puissances donnent des restes diffé 
rents qui constituent toutes les racines primitives de P, donc un nombre pre 
mier absolu P a autant de racines primitives qu’il y a au-dessous de P — \ de 
nombres qui soient premiers à P—1. Ce théorème entrevu par Lambert a éîc 
démontré par Euler, ensuite par Gauss; les exercices mathématiques de 
M. Cauchy présentent sur le même sujet une démonstration essentiellement 
algébrique; plus récemment M. Poinsot en a donné une démonstration arith 
métique dont l’élégance est remarquable, démonstration dont les éléments 
sont employés n° 113; quel motif nous porte donc à maintenir celle qui 
précède? ce motif le voici : la transformation des séries [A], [AJ, [AJ, [C], 
[Cj, les liens qui unissent les divers restes des termes de ces séries opposant 
une première difficulté qui se présentera plus sérieuse dans la suite de ce tra 
vail, il nous a paru utile de familiariser le lecteur avec un genre de considé 
rations dont cet essai offrira de nombreux exemples. 
Lorsque l’on connaît une seule racine primitive d’un nombre premier P, le 
théorème précédent donne un procédé pour obtenir toutes les racines primi 
tives de ce nombre; toutefois plusieurs causes rendent cette méthode assez 
pénible; la formation de tous les restes demande, en général, P multiplications 
et P divisions, et parmi ces opérations quelles sont celles qui sont essentielles? 
on sait, n° 112, que les facteurs premiers inégaux de P — 1 étant a, p, 7...., 
le nombre N désignant combien il y a de facteurs inférieurs et premiers à P—1,