DIVISIONS HOMOGRAPHIQIIES 
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D'autre part, si nous plaçons le point au point de ren 
contre delà droiteD t et de la droite 0 12 0 23 , le point A 3 est aussi 
sur la droite 0 12 0 23 ; par suite, cette droite est une position 
particulière de AjA 3 . Donc, le point fixe 0 13 par lequel passe 
A t A 3 est situé sur la droite 0 12 0 23 . 
Voir une autre démonstration (V, 96). 
50. Remarque. — De ce théorème on peut déduire la propriété 
des triangles homologiques qui a déjà été établie deux fois 
(II, 24) et (Y, 69). 
Soient deux triangles ABC, A'B'C' ; on désigne par a le point de 
rencontre des cotés BC, B'C', par [3 celui des côtés CA, C'A', par y 
celui de AB, A'B'. Si les droites AA', BB', CC' sont concourantes, 
les points a, ¡3, y sont en ligne droite. 
Soient D t , D 2 , D 3 les droites AA', BB', CC' qui, par hypothèse, 
passent par un même point w. 
Nous pouvons considérer les triangles ABC, A'B'C' comme 
deux positions particulières d’un triangle variable A 1 A 2 A 3 assu 
jetti aux conditions suivantes : 
Les sommets A t , A 2 , A 3 se déplacent respectivement sur les 
droites D t ,D 2 ,D 3 , et les côtés A t A 2 , A 2 A 3 passent chacun par un 
point fixe y, oc. 
Il résulte alors du théorème 49 que le côté A t A 3 passe aussi 
par un point fixe situé sur la droite yoc. 
Or ce point fixe n'est autre que (3, puisque ce point est 
commun aux côtés AC, A'C', qui sont deux positions particulières 
de A 1 A 3 . On voit ainsi que les points a, ¡3, y sont en ligne droite. 
51. On donne dans un même plan deux droites L, L' et un cercle 
passant par le point de rencontre O de ces deux droites. On prend sur 
L un point arbitraire M, et on trace la polaire de ce point par rapport 
au cercle, laquelle rencontre 1/ au point M'. 
Démontrer que si le point M se déplace sur L, la droite MM' passe 
par un point fixe. 
11 suffit d’établir que M, M' tracent sur L, L des divisions 
homographiques admettant deux points homologues confondus 
au point O. 
1° A tout point M de L correspond un seul point M' de 1/, 
qui est l'intersection de L' et de la polaire du point M. 
2° Réciproquement, étant donné le point M' sur L', il s'agit