PREMIERE PARTIE. 
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On a démontré, n° 20, que, l’une de ces couples d’égalités étant exacte, on 
peut calculer, en général, un système-solution de l’équation proposée 
x 1 -J- qx -|- r = (P. m)z. 
Soit ce système représenté par x=a, z = b, il est alors évident que x = a, 
y—b.m est un système-solution de Г équation x 2 -J- qx -|- r — P .y. 
Les laits indiqués dans les deux numéros qui précèdent, établissent que la 
présence dans les tables d’un nombre entier P. rn constitue un caractère en 
général suffisant pour résoudre l’équation a?-^-qx-\-r=V.y : les considéra 
tions suivantes prouvent que le caractère cité apparaît toujours, et donne une 
solution de l’équation proposée lorsque celle-ci est résoluble en nombres entiers. 
1° Le nombre Р./?г, la lettre rn pouvant être l’unité, a une place dans les 
tables; 2° la connaissance de cette place amène toujours une solution de 
l’équation proposée; examinons successivement les deux parties de ce prin 
cipe. 
1° Si l’équation x*-\-qx-\-r=\*.j, q nombre impair, est résoluble en 
nombres entiers, ces tables présentent une infinité de multiples du nombre P; 
chacun de ces multiples a par conséquent une tête de colonne correspondante ; 
désignons en effet par n et рагу un système-solution de l’équation possible pro 
posée, on a donc l égalité rf-\-qn-\-r = V.y. Reprenons actuellement les 
formules indiquées n° 10 : 
— *o(N' -J-1 y — £,(№ —1 ) —(- , 
îv+i— TC o( N ' “h 'i ) 2 -j- ^ A, 
?2»' — ?o(N' + 1) 2 —A>(N r 1 ) A •> 
?»'+i—?o(^ f -f- 'i ) 2 +'0+A ? 
formules qui représentent des nombres entiers placés dans les tables; rap 
pelons que la lettre a été remplacée successivement par tous les nombres 
entiers; rappelons aussi que les têtes de colonne correspondantes aux nom 
bres entiers x 2H -, tc 2n , +1 , <p ÏH ., <p 2s . +1 , sont toutes représentées pas l’expression 
A = A — n ' “h q n “b r > nombre entier qui, dans les conditions de possibilité 
de résolution de l’équation, est un multiple de P; si donc, on donne à 
l’état de multiple de P; il est évident que les nombres tv-и, Ь*"> <р 8 „ч-1> 
seront des multiples de P, et auront place dans les tables. 
2° Rappelons que tout nombre placé dans les tables vérifie l’une des couples