46 ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ, 
de propriétés désignées ci-dessus, n° 20, par les égalités[1], [2], [3],[4]; ainsi 
la seconde partie du principe qui nous occupe présentera quatre cas auxquels 
nous pouvons donner les noms de propositions réciproques ; nous indiquerons 
les principaux résultats donnés par le calcul. 
22. Première proposition réciproque. Soit l’équation proposée 
oé —f— qx —{— r := P.^”, q nombre impair, 
nous admettons que la racine carrée du produit P. m étant représentée par un 
nombre entier t\, le reste donné dans cette extraction vérifie la couple [1] d’éga 
lité du numéro précédent, on a 
P. z/z = R 2 A. H 2 -|- A.H -|- —= R* Racine = R =/(»). 
Celte fonction de n, le nombre n étant entier, est correspondante au nombre 
Reste + Rac : = A. H 2 + A. H + ±±1 ; 
elle aura donc une tête de colonne, et celle-ci sera, disons-nous, une solution 
entière de z applicable à l’équation x*qxr — ÇP.m)z. Supposons, par 
exemple, en effet : 1° que la tête de colonne soit P^, nombre dont la valeur 
relatée n° 10 est 
P,,+, = (b* + nq-\- r)(N -f 1 )* + (2b + f)(N +1 ) +1, 
ou P^H=(N+1 )W+| ? (N+1 )»+2(N+1 )>+[r(N+17+5(N +1 (+1 ] ; 
2° que le nombre reste -j- racine, soit caractérisé par l’état impair 2K -J- 1 du 
nombre № ; si alors on consulte le résumé général qui précède le tableau 1, on a 
Reste + racine = A[(N +1 )K+ N] ! -f- A [(N +1 )K+N] + , 
ou Reste = A[(N +1 )K+ N] ! + A[(N +1 )K+ N] -)- ^±1 — racine, 
et racine = R = [(2N + 2)K+ 2N +1 ]b + {qn + q + 2)K+ ?N + . 
L’hypothèse particulière au cas actuel est P. m — R*-|- reste, 
(P. m)P ÏK+1 = R S (P W+1 ) + reste (P„ +1 ). 
ou