PREMIÈRE PARTIE. 
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ainsi, en désignant par X 0 , X t les systèmes pour x correspondants aux va 
leurs Y 0 , Y,, on a 
X 0 =P(N+1)-(*.+ ? ), 
Y 0 = 7l + P(N+^-(ar.+ ? )(N + 1), 
X, =P(N+1)+*i, 
Y, =jr. ■+ P(N +\f+(2*. + q) (N +1 ) ; 
ces formules sont générales, le nombre q reste complètement arbitraire. 
28. Théorème. Étant donnée à résoudre en nombres entiers l’équation pos 
sible oâ -J- qx +,-=p .j, nous admettrons, ce qui est permis, 1° l’état positif 
soit du nombre P, soit du nombre q, soit du nombre /■; 2° l’exactitude de 
l’inégalité r<P; on peut alors toujours supposer x t <^P, < P-J- q-j-1 : en 
effet, toute solution relative à x peut perdre un multiple de P; or, des condi 
tions x t P, r < P, on déduit <1 p + '? + 1 * 
29. Théorème. Étant donnée à résoudre en nombres entiers l’équation pos 
sible x~ —(— qx —j— r P.y 7 si le nombre P est premier absolu, tout système x\, y x 
connu et constituant une solution de l’équation proposée, donne, en employant 
les formules générales n° 27, tous les systèmes-solutions de l’équation. Du 
système x\, y t acquis, on déduit l’égalité (x,) 2 -\-qx l —|— /’ = P.y\ ; si l’on désigne 
par x^B une valeur entière applicable à l’inconnue x, on aura l’égalité 
(^dz^-J-^^zb^-j-r^P.z; et si de cette dernière égalité on retranche 
l’égalité précédente, le résultat est ^(â±2x 1 ziz^) = P. 1° Si le nombre B est 
un multiple exact de P, les nombres ^zîzà applicables à l’inconnue x sont com 
pris dans le second groupe des formules générales n° 27 ; 2° si le nombre B n’est 
pas un multiple exact du nombre P, les deux nombres P et § sont premiers 
entre eux, et de l égalité dernière précédente on déduit àzt 2x 1 dzq= P.Y, 
ou j7 1 -[-^=P.Y—{x 1 -\-q') et x l —B ——P.Y — Çx\-\-q), ces nombres x l -|-B 
et x t —B sont compris dans le premier groupe des formules n° 27 : ainsi étant 
donnée à résoudre, en nombres entiers, l’équation ¿r 2 -)- qx-j-r = B.z, le nom 
bre B étant égal au produit P.T, dans lequel P est un nombre premier absolu; 
l’égalité T.z=y transforme l’équation proposée en une autre J?-\-qx-\-r=P.y, 
et cette dernière équation, si elle est résoluble en nombres entiers, aura la 
propriété indiquée dans le théorème précédent; un système-solution x n y l7