PREMIÈRE PARTIE. 
55 
puisque, et nous l’avons dit précédemment, toute équation * 2 -[-Q.i-l-B:=P.,s 
dans laquelle le nombre Q est impair, peut être transformée en une autre dont 
la forme est t/-\-w —|— R = P.Y, et celle-ci peut, à son tour, être transformée 
en une autre dont la forme est .r 2 -|-r = P.jr; or, s’il est vrai de dire que les 
études mathématiques restent en général dans le domaine spéculatif, cette vérité 
ne peut impliquer l’idée de faire les recherches qu’une légère déviation à une 
méthode peut rendre inutile; or, tel serait l’examen actuel, et cette inutilité est 
prouvée par les faits suivants : 
Soit l’équation [1] X 2 —|— —j— /’ = P.Y, fonction de deux inconnues XetY, 
et dans laquelle le nombre q est égal à 24-J-1, posons X=u—h, l’équation [1] 
devient [2] li-J- a B — 1f — V.z ; et si le changement de quelques unités dans 
la valeur de 2 est nécessaire, ce changement effectué transforme l’équation [2] 
en une autre [3] — P.Y, dans laquelle le nombre R est positif, et 
est inférieur à P; dans cette dernière équation, la limite du nombre m lié au 
multiple P. m, limite indiquée précédemment, est P -J- 2 ; il y avait donc excès 
manifeste dans la limite P-j-^-j-1 relatée ci-dessus, au moins lorsque le nom 
bre q est supérieur à l’nnité; si on multiplie l’équation [3] par le nombre 4, et 
si l’on pose les égalités kv=j, l’équation [3] devient [4] ^+r=P .j, 
équation dans laquelle on peut toujours supposer le nombre r positif et inférieur 
à P ; or, l’examen complet de cette dernière équation , est compris dans l’étude 
suivante * : 
RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION X 2 -f </X-f-R = P. j (le nombre q étant pair). 
51. Etant donnée à résoudre en nombres entiers et dans les conditions pré 
citées l’équation X 2 -|-^X-|-R=P.^', on peut donner à cette équation la forme 
x ’+?-*+j + R —j = V-X, 
ou si l’on pose X + | = ^, R—| = r, ona f-fr = P./. 
‘L’exposé de la résolution de l’équation ^ 2 -|-r=P.j présentera tous les développements 
nécessaires pour la fixation des limites inhérentes à cette dernière équation ; les considérations 
qui amènent cette fixation facilitent les recherches que l’on peut faire sur le point analogue relatif 
à l’équation x* -J- qx -f-r = P.j, le nombre <7 impair, par conséquent nous consignerons ensuite 
les principes qui pourront guider ceux qui voudront faire une étude plus approfondie de cette 
partie moins essentielle, mais curieuse , de la théorie analytique qui nous occupe.