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ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION X 2 i +r=P.j. 
52. L’équation a?-^-r = P.p 
est un cas particulier de l’équation x*qxr =. P,/, cas particulier donné 
par l’hypothèse q = o; on pourrait donc, dans l’étude actuelle, employer les 
principes établis précédemment, et qui sont indépendants de cette hypothèse 
q=o; rechercher ensuite les modifications que doivent éprouver les principes 
pour lesquels cette même hypothèse q = o est inadmissible; mais comme nous 
l’avons dit dans la note qui accompagne l’introduction, la méthode générale de 
résolution de l’équation aoâ-(- e Zbxj-^~cj^=:M, méthode consignée dans la se 
conde partie de ce traité, est basée sur la connaissance des racines entières de 
l’équation z 2 -{-D = M.S; remarquons aussi que la résolution de cette dernière 
équation a une autre utilité, nous lui avons subordonné, partiellement du 
moins, celle de l’équation x*-\-qx-\-r=-V .j, le nombre q étant impair: nous 
avons donc cru devoir, reprenant une partie des idées et des notations précé 
dentes , faire l’examen d’une manière directe. Dans les raisonnements qui sui 
vent, nous supposerons que le nombre r est positif, et est inférieur au nombre P. 
Cette condition , si elle n’a pas lieu a priori, peut être réalisée par le change 
ment d’une ou de plusieurs unités dans la valeur du nombre inconnu jr, elle 
n’est pas indispensable pour nos premiers développements, mais elle facilitera 
ensuite l’exposé des principes de limitation qui terminent notre étude actuelle. 
La série primitive applicable à l’équation x* H~r— p .jK, est 
r 1-|-r 4 -\-r 9-|-r.... /^-f-r, 
elle est seule admissible, et la théorie de cette série unique contient tous les 
éléments nécessaires à la résolution de l’équation proposée : appelons s, t, h, 
les nombres dont la relation avec la série indiquée sont actuellement bien con 
nus, on aura .$•-[-£=?, h— 1, elles deux suites horizontales con 
sécutives sont représentées par les formules 
?„=(«*+,.)(N + i;f—2«(N+1) + 1, 
P^=(« S +/')(N + 1)*+2«(N+1)H-1. 
35. Théorème. Chaque nombre appartenant à l’une des suites P 2N et P 2[(+1 , 
donne, si on le multiplie par sa tête de colonne rf-\-r, un produit représenté