PREMIÈRE PARTIE. 59 
56. Théorème. Si on extrait la racine carrée d’un nombre appartenant aux 
suites horizontales tu 2n ., tc 2n . +1 , <p 2N ., <p 2N . +1 , on aura 
Reste de tc 2(i .—Reste de <p 2tI ., Reste de tt 2n , +1 = Reste de <p 2 „< +1 ; 
ces restes, indépendants de la lettre n, par suite invariables au moins pour 
deux suites horizontales consécutives, sont tous représentés par la formule r.Q 2 , 
le nombre Q étant entier. On peut donner aux valeurs de x 2N ., tt 2n . +1 , <p 2N -, <p 2N ’+ n 
les formes suivantes : 
^+.= i[(N + 1)(N' + 1) + 1]«-(N' + 1)|’+r[(N + 1)(N'+1)+1] ! , 
1W= |[(N + 1)(N , + 1)-1]«-(N'H-1)r+'-[(N + C(N'+1)-1] ! , 
ÏB . +1 =i[(N + 1)(N'+1) + 1]«—(W+1)i s +/-[(N + 1)(№+1) + 1] ! . 
Ces égalités démontrent le théorème énoncé, et donnent le résumé suivant ana 
logue à ceux qui ont été présentés n os 12 et 19. 
i Reste = /{(N -f1 ) (N' -f 1 ) — \ f 
^ (Rac : = [(N + IXN'+I) — i]w—(N'+1) 
i Reste=r[( N +1 ) (JS'+1 ) +1 ] 2 | 
’ V+ ‘ 1 Rac ; = [(N-HXN'+1)+1]n—(N'+l) 
f Reste = r[(N-|- / l)(N , -|- / l)—I] 2 
(Rac;= [(N-HXN'-H)—1]»+(N'+1. 
( Reste = r[(N -f-1 )(N' \ ) -|- \ ] 2 
l<Pi "' + ’ (Kac:= [(N + 1XN'+C+1]«+(N'+1). 
Ajoutons à ce tableau les formules liées à la table primaire, c’est-à-dire le résumé 
partiel du n° 34, on a 
Reste == r(N -J-1 ) 2 
i Racine = (N —|— 1 }/z —1 
{ Racine = (N -f-1 )n -f-1 ' 
Si, comme nous l’avons fait dans les circonstances analogues qui précèdent, 
on donne successivement à N et à N' les valeurs 0, 1, 2, 3, etc., on aura le 
tableau numérique suivant :