PREMIÈRE PARTIE. 
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subséquente d’une solution applicable à l’équation proposée, solution liée à la 
position occupée dans les tables par le multiple P.m. Les raisonnements qui 
prouvent l’exactitude de la première partie du principe énoncé sont semblables 
à ceux qui ont été faits dans le n° 21 précité, et leur reproduction nous a paru 
inutile ; la seconde partie du principe est réellement une proposition réciproque 
que nous démontrons de la manière suivante : 
38. Proposition réciproque. Si l’équation ^-\-r = P.j- vérifie la couple 
d’égalités P.m— r.ct—R 2 , jf(>z) = R, les nombres P, m, R, #, r, n étant en 
tiers, et si l’expression f(n) qui représente la racine carrée de P. m est placée 
dans le tableau VI sur la ligne horizontale dont le titre à gauche est r. a; 2 ; on 
peut toujours de ces hypothèses déduire un système-solution applicable 
à l’équation x i -\-r = P. j. Nous supposerons, pour fixer les idées, que la fonc 
tion de n représentant la racine carrée donnée par P. m, est la racine carrée 
•déduite de <p 2N+1 , n ° 36; en d’autres termes nous admettons, 1° l’égalité 
P. m= <p 2!i+1 , 
et par suite = [(IV —|— 1 ) (N' 1 ) —|— 1 ]/z —(— (N' -J— 1 ) ; 
2° que le reste obtenu après cette extraction est par conséquent 
r[(N + 1)(W+U+1]«; 
3° que la tête de colonne est alors évidemment 
P 2n +. = K+0(N + 1) 2 +2/i(N + 1) + 1 n° 32, 
on a ainsi les égalités 
P. w ,= i[(N + 1)(N' + 1) + 1]/z + (N'+1)j 2 +r[(N + 1)(N' + 1)+l] 2 , 
P^=(^+0(N+1?+2i<N+1) + 1. 
Si, après avoir posé pour abréger N —|— 1 =a, N'—|— 1 =b, on multiplie terme 
à terme les deux égalités précédentes, et si on extrait la racine carrée du pro 
duit, le résultat est 
P. m. P^ l — [a(ab-\-\)n^-\-(^iab-\-\)n-\-b-\-ra[ab-\-\)f-\-r ;