PREMIÈRE PARTIE. 
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formules générales du n° 39 donnent toutes les solutions de x applicables à 
l’équation proposée ; on peut conclure des faits précédents que si dans l’équa 
tion x* -|- r = P.y, le nombre P n’est pas premier absolu, et si l’on veut acquérir 
la certitude que toutes les solutions seront déduites d’une seule, il sera néces 
saire de changer, par une transformation convenable, l’équation proposée en 
une autre qui présentera la circonstance essentielle indiquée, cette modifica 
tion aura un autre avantage que le théorème qui commence l’étude suivante 
montre mieux que toute explication. 
RECHERCHE D’UNE SOLUTION DE L’ÉQUATION *»-f-r = P.j. Limitation des essais. 
41. Théorème général. Si la résolution de l’équation x 2 -j-r est possible, le 
nombre r étant positif et inférieur à P, on peut toujours réaliser l’égalité 
P.m = R 2 -(-r,« 2 , les nombres /??, a, /’étant entiers, le premier étant non supé- 
s p 
rieur à — + 3 le second ri étant pas supérieur au nombre 3. Ce théorème a une 
grande importance; réuni au tableau numérique précédent et à la prop. réc. 
n° 58, l’ensemble donne un moyen pratique de résolution de toutes les 
équations dont la forme est x i -j- /* = P.y, la démonstration que nous présen 
tons est longue, pénible, et cependant nous l’avons abrégée de moitié sans 
altérer son caractère général en admettant l’état impair du nombre P. 
1 er Cas. P = 4?+1. 
42. Lemme. Si l’équation x*-|- r = (4ÿ -J- \)y est possible ; si la solution 
hypothétiquement connue est désignée par le système x l y lt on peut toujours 
admettre que les nombres x t y 1 ne sont pas supérieurs, le premier à 2^, le 
second à <7; la première partie de cette conclusion est évidente, et de l’inéga 
lité (2</) 2 + 4^-|- 1 > (% + 1 )y if on déduit l’inégalité y 1 < y -j- ^ qui dé 
montre la seconde partie du principe énoncé. 
45. Lemme. Si l’équation a?-j- r = (Aq +\ )y est possible ; si l’on pose 
J- k ou l e nombre entier k n’étant pas supérieur à 3 , si l’on 
s’est assuré que les essais successifs 1,2, 3, 4 y .~3 tentés pour y ne 
peuvent donner une solution de cette inconnue ; on est alors assuré, lemme 
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